Question

Три положительных числа, из которых третье равно 27 , образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если вместо 27 взять 24, то три числа составят арифметическую прогрессию, укажи первые два числа 2436504872​

Answer 1

Ответ:

48 и 36.

Объяснение:

Пусть даны три числа $x,y,27$ . Эти числа образуют геометрическую прогрессию. По характеристическому свойству геометрической прогрессии будет выполняться:

$27x=y^{2}$

Теперь рассмотрим вместо 27 число 24 и тогда числа

$x,y,24$ образуют арифметическую прогрессию. По характеристическому свойству арифметической прогрессии будет выполняться:

$x+24=2y$.

Составим из составленных уравнений систему и решим ее:

$\left \{\begin{array}{l} 27x = y^{2}, \\ x+24 = 2y; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 27(2y-24) = y^{2}, \\ x = 2y-24; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} y^{2}-54y+27\cdot24=0, \\ x = 2y-24; \end{array} \right.$

Решим полученное квадратное уравнение.

$y^{2} -54y+27\cdot24=0;\\D{_1}=(-27)^{2} -27\cdot24=27\cdot(27-24)=27\cdot3=81=9^{2} \\y{_1}=27-9=18;\\y{_2}=27+9=36$

Для каждого значения y найдем значение x.

Если $y=18,$ то $x=2\cdot18-24=36-24=12$.

Если $y=36,$ то $x=2\cdot36-24=72-24=48$.

Тогда получим числа 12;18 и 48;36

По условию сказано, что эти два числа вместе с числом 27 образуют убывающую геометрическую прогрессию.

12;18;27 - возрастающая

48;36;27- убывающая.

Тогда числа 48 и 36.

Answer 2

Давайте рассмотрим убывающую геометрическую прогрессию с тремя числами. Пусть первое число будет a, второе - ar и третье - ar^2, где r - знаменатель прогрессии (меньше 1, так как это убывающая прогрессия).

У вас есть следующая информация:

1. Третье число равно 27: ar^2 = 27.
2. Если вместо 27 взять 24, то это образует арифметическую прогрессию: a, a + d, a + 2d, где d - разность арифметической прогрессии. Так как третье число равно 24, то a + 2d = 24.

Сначала найдем значение r из убывающей геометрической прогрессии:

ar^2 = 27

Теперь мы знаем, что третье число 27. Давайте подставим это значение:

a * r^2 = 27

Мы также знаем, что если вместо 27 взять 24, то это будет арифметическая прогрессия:

a + 2d = 24

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и r), и мы можем решить их одновременно:

1. a * r^2 = 27
2. a + 2d = 24

Давайте решим эти уравнения. Сначала найдем значение a из второго уравнения:

a + 2d = 24 a = 24 - 2d

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(24 - 2d) * r^2 = 27

Теперь мы должны найти значение r:

(24 - 2d) * r^2 = 27 r^2 = 27 / (24 - 2d)

Теперь мы знаем, что r^2 равно 27 / (24 - 2d). Мы также знаем, что третье число в убывающей геометрической прогрессии равно 27:

ar^2 = 27

Подставим это значение и найдем a:

a * (27 / (24 - 2d)) = 27

Теперь можем упростить это уравнение:

a / (24 - 2d) = 1

a = 24 - 2d

Теперь у нас есть значение a и значение r:

a = 24 - 2d r^2 = 27 / (24 - 2d)

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала найдем значение d:

a = 24 - 2d a - 24 = -2d 2d = 24 - a d = (24 - a)/2

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

r^2 = 27 / (24 - 2d) r^2 = 27 / (24 - 2(24 - a)) r^2 = 27 / (24 - 48 + 2a) r^2 = 27 / (-24 + 2a)

Теперь найдем значение r:

r^2 = 27 / (-24 + 2a) r^2 = 27 / (-24 + 2(24 - a)) r^2 = 27 / (-24 + 48 - 2a) r^2 = 27 / (24 - 2a)

Теперь у нас есть два уравнения для r^2:

1. r^2 = 27 / (24 - 2d)
2. r^2 = 27 / (24 - 2a)

Оба равенства должны быть истинными, поскольку они описывают одну и ту же геометрическую прогрессию. Теперь мы можем приравнять эти два уравнения:

27 / (24 - 2d) = 27 / (24 - 2a)

Теперь можно упростить это уравнение:

24 - 2d = 24 - 2a

Сократим 24 с обеих сторон:

-2d = -2a

Теперь делим обе стороны на -2:

d = a

Таким образом, мы пришли к выводу, что разность арифметической прогрессии (d) равна первому числу геометрической прогрессии (a). Теперь мы можем найти первые два числа арифметической прогрессии:

a + 2d = 24 a + 2a = 24 3a = 24

Теперь найдем значение a:

3a = 24 a = 24 / 3 a = 8

Теперь, когда у нас есть значение a, мы можем найти значение d:

d = a = 8

Таким образом, первые два числа арифметической прогрессии равны 8 и 8.