Question

Найти решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом 1) 4у'+3'-7у=02) 2у"+5у"=0З) у"-6у+1Зу=о

Answer 1

везде одна замена:

$y = {e}^{kx}$

1)

$4 {k}^{2} + 3k - 7 = 0 \\ d = 9 + 112 = 121 \\ k1 = \frac{ - 3 + 11}{8} = 1 \\ k2 = - \frac{14}{8} = - \frac{7}{4} \\ y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{ - \frac{7}{4}x }$

2)

$2 {k}^{2} + 5k = 0 \\ k(2k + 5) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - 2.5 \\ y = C1 {e}^{ - 2.5x} + C2$

3)

${k}^{2} - 6k + 13 = 0 \\ d = 36 - 52 = - 16 \\ k1 = \frac{6 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i \\ k2 = 3 - 2i$

$y = {e}^{3x} (C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x) )$

Answer 2

Давайте найдем решения каждого из предложенных уравнений.

1. Уравнение: 4y'' + 3y' - 7y = 0

Характеристическое уравнение: r^2 + (3/4)r - 7 = 0

Мы можем попробовать решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или использовать квадратное уравнение для нахождения корней r. Решая это уравнение, мы получаем два корня:

r1 = -3 r2 = 7/4

Общее решение имеет вид: y(t) = c1 * e^(-3t) + c2 * e^(7t/4), где c1 и c2 - произвольные константы.

2. Уравнение: 2y'' + 5y' = 0

Характеристическое уравнение: 2r^2 + 5r = 0

Решая это уравнение, мы получаем два корня:

r1 = 0 r2 = -5/2

Общее решение имеет вид: y(t) = c1 + c2 * e^(-5t/2), где c1 и c2 - произвольные константы.

3. Уравнение: y'' - 6y' + 13y = 0

Характеристическое уравнение: r^2 - 6r + 13 = 0

Решая это уравнение, мы получаем два комплексных корня:

r1 = 3 + 2i r2 = 3 - 2i

Общее решение имеет вид: y(t) = e^(3t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), где c1 и c2 - произвольные константы.

Надеюсь, эти ответы помогут вам решить данные дифференциальные уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать.