Question

Сколько существует натуральных x, y, z, удовлетворяющих уравнению НОК(x;y;z)=315?

Answer 1

Ответ: 931

Объяснение:

1. Заметим, что 315 имеет следующее разложение на простые множители:

315=32⋅5⋅7,

отсюда следует, что числа x, y, z состоят из тех же простых чисел 3, 5, 7:

 x=3a1⋅5a2⋅7a3;

 y=3b1⋅5b2⋅7b3;

 z=3c1⋅5c2⋅7c3.

При этом  

 0≤a1,b1,c1≤2;

 0≤a2,b2,c2≤1;

 0≤a3,b3,c3≤1.

 2. По правилу нахождения наименьшего общего кратного получим

НОК(3a1⋅5a2⋅7a3;3b1⋅5b2⋅7b3;3c1⋅5c2⋅7c3)=3max(a1,b1,c1)⋅5max(a2,b2,c2)⋅7max(a3,b3,c3).

 3. Итак, задача свелась к нахождению числа решений системы уравнений:

 

⎧⎩⎨⎪⎪max(a1,b1,c1)=2;max(a2,b2,c2)=1;max(a3,b3,c3)=1.

Так как каждое уравнение содержит разные неизвестные, то для того чтобы найти количество решений системы, нужно найти количество решений каждого из уравнений и перемножить полученные значения.

 4.  Начнём с первого уравнения. Требуется найти количество целых неотрицательных чисел a1,b1,c1, удовлетворяющих уравнению max(a1,b1,c1)=2.

 Напомним, что 0≤a1,b1,c1≤2. Отсюда следует, что тройка чисел a1,b1,c1 является решением уравнения, если хотя бы одно из чисел a1,b1,c1 равно 2. Для того чтобы посчитать число таких троек, вычтем из количества всевозможных троек чисел a1,b1,c1 с условием 0≤a1,b1,c1≤2 (таких троек ровно 33=27 штук) число троек a1,b1,c1 с условием 0≤a1,b1,c1≤2, в которых 2 ни разу не встречается (таких троек ровно 23=8 штук). Отсюда находим, что первое уравнение системы имеет 27−8=19 решений.

5. Точно так же поступим при подсчёте числа решений второго уравнения системы. Требуется найти количество целых неотрицательных чисел a2,b2,c2, удовлетворяющих уравнению max(a2,b2,c3)=1.

Напомним, что  0≤a2,b2,c2≤1.

Тройка чисел a2,b2,c2 является решением уравнения, если хотя бы одно из чисел  a2,b2,c2 равно 1. Но только одна тройка чисел a2,b2,c2 не удовлетворяет этому условию, это тройка a2=b2=c3=0. Все остальные тройки хотя бы одну 1 содержат. Поскольку троек чисел a2,b2,c2 с условием 0≤a2,b2,c2≤1 ровно 23=8 штук, то второе уравнение системы имеет 8−1=7 решений. Точно так же получаем, что и третье уравнение системы имеет 7 решений.

 6. Для того чтобы подсчитать число решений системы, а значит, и исходного уравнения, остаётся перемножить полученные нами числа. Имеем

 19⋅7⋅7=931.

Итак, исходное уравнение имеет ровно 931 решение.

 Правильный ответ: 931 решение.

Answer 2

Чтобы найти количество натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих уравнению НОК(x, y, z) = 315, мы можем разложить 315 на простые множители и затем посчитать возможные комбинации этих множителей.

Разложим 315 на простые множители: 315 = 3 * 3 * 5 * 7

Теперь мы знаем, что НОК(x, y, z) будет равно произведению всех уникальных простых множителей, возведенных в степень, равную максимальной степени этого множителя в разложении 315.

Таким образом, у нас есть 4 уникальных простых множителя (3, 5, 7) и их степени равны (2, 1, 1) соответственно.

Чтобы найти количество комбинаций x, y, z, мы можем выбрать степени для каждого из этих простых множителей. Для каждого множителя у нас есть (степень + 1) способов выбора. Затем перемножаем эти числа, чтобы найти общее количество комбинаций:

(2 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 3 * 2 * 2 = 12

Таким образом, существует 12 натуральных наборов чисел x, y и z, удовлетворяющих уравнению НОК(x, y, z) = 315.