Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

в первом пункте определены точки разрыва функции. Во втором взята первая производная. В третьем пункте взята вторая производная, а затем приравняли её к нулю.Решили, в ответе получилось отрицательное число, это значит что корней и решения нет.Точек перегиба нет.В таблице указано по второй производной на каких промежутках функция вогнута и выпукла.

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Найдите вторую производную f''(x).
3. Найдите точки, где f''(x) = 0 или f''(x) не существует. Это могут быть точки перегиба или точки разрыва второй производной.
4. Исследуйте знак второй производной f''(x) между найденными точками. Если f''(x) положительна на интервале, то функция выпукла в этом интервале; если f''(x) отрицательна, то функция вогнута; если f''(x) меняет знак с положительного на отрицательный, то есть точка перегиба.
5. Найдите значения x в точках перегиба, чтобы найти соответствующие значения f(x).

Пример: Пусть у вас есть функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

1. Найдем первую производную: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.

2. Найдем вторую производную: f''(x) = 6x - 6.

3. Решим уравнение f''(x) = 0: 6x - 6 = 0. 6x = 6. x = 1.

Таким образом, у нас есть одна точка, где f''(x) = 0, и это потенциальная точка перегиба.

4. Исследуем знак второй производной f''(x) на интервалах (-бесконечность, 1) и (1, +бесконечность):

   • При x < 1: f''(x) < 0, поэтому функция вогнута на этом интервале.
   • При x > 1: f''(x) > 0, поэтому функция выпукла на этом интервале.

Таким образом, у нас есть точка перегиба в x = 1, и функция выпукла на интервале (1, +бесконечность), а вогнута на интервале (-бесконечность, 1).

5. Чтобы найти соответствующие значения f(x) в точках перегиба, подставьте x = 1 в исходную функцию: f(1) = 1^3 - 31^2 + 21 + 1 = 1 - 3 + 2 + 1 = 1.

Таким образом, точка перегиба функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 находится в (1, 1).