Question

Определите, является ли последовательность возрастающей или убывающей а(n) =(n^2+1)/n^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

((n+1)^2+1)/(n+1)^2-(n^2+1)/n^2=

=(n^2(n^2+2n+2)-(n^2+2n+1)(n^2+1))/n^2)(n+1)^2=

=(n^4+2n^2+2n^3-n^4-2n^3-n^2-n^2-2n-1)/n^2(n+1)^2=

=-(2n+1)/n^2(n+1)^2

n^2*(n+1)^2>=0 ∀n

-(2n+1)<0 , n>0

a(n)- убывающая последовательность

Answer 2

Для определения, является ли данная последовательность возрастающей или убывающей, мы можем проанализировать ее элементы. Последовательность задана формулой a(n) = (n^2 + 1) / n^2.

Давайте рассмотрим ее поведение при увеличении n:

a(1) = (1^2 + 1) / 1^2 = 2/1 = 2 a(2) = (2^2 + 1) / 2^2 = 5/4 a(3) = (3^2 + 1) / 3^2 = 10/9 ...

Мы видим, что с увеличением n значение a(n) уменьшается. Это можно проиллюстрировать также вычислением разности между соседними членами последовательности:

a(2) - a(1) = (5/4) - 2 = -3/4 a(3) - a(2) = (10/9) - (5/4) = -5/36 ...

Разность между соседними членами всегда отрицательна, что означает, что последовательность убывает при увеличении n.

Итак, данная последовательность является убывающей.