Question

Решите уравнение: 3sin^2 x +5cos x-4=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

3(1-cos^2 x)+5cosx-4=0,  3-3cos^2 x +5cosx-4=0,  

-3cos^2 x+5cosx -1=0,   пусть cosx=y,  |y|<=1,  3y^2-5y+1=0,

D=25-4*3*1=13,  y1=(5+V13) /6  >1,  не подходит,       (V13=~3,6),  (V-корень)

y2=(5-V13)/6,    cosx=(5-V13)/6,  x=+- arc cos(5-V13)/6  +2pn,  n    E     Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение $3\sin^2(x) + 5\cos(x) - 4 = 0$, мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими идентичностями:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$,

$\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$.

Теперь мы можем подставить второе уравнение в первое:

$3\sin^2(x) + 5\sqrt{1 - \sin^2(x)} - 4 = 0$.

Давайте обозначим $\sin(x)$ как $t$:

$3t^2 + 5\sqrt{1 - t^2} - 4 = 0$.

Теперь мы можем решить это уравнение численно. Начнем с нахождения корня $t$, а затем найдем соответствующие значения $\sin(x)$. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти корень. Давайте найдем приближенное значение корня $t$:

$3t^2 + 5\sqrt{1 - t^2} - 4 = 0$

$3t^2 = 4 - 5\sqrt{1 - t^2}$

$t^2 = \frac{4 - 5\sqrt{1 - t^2}}{3}$

$t^2 = \frac{4 - 5\sqrt{1 - t^2}}{3}$

$t^4 = \left(\frac{4 - 5\sqrt{1 - t^2}}{3}\right)^2$

$t^4 = \frac{16 - 40\sqrt{1 - t^2} + 25(1 - t^2)}{9}$

$9t^4 = 16 - 40\sqrt{1 - t^2} + 25 - 25t^2$

$9t^4 + 25t^2 - 16 = 40\sqrt{1 - t^2}$

$\left(9t^4 + 25t^2 - 16\right)^2 = 1600(1 - t^2)$

Теперь мы можем решить это уравнение численно. Вычислим корень $t$ и найдем соответствующие значения $\sin(x)$. Для упрощения вычислений, давайте используем Python:

pythonCopy code
import sympy as sp

t = sp.symbols('t')
eq = (9 * t**4 + 25 * t**2 - 16)**2 - 1600 * (1 - t**2)
solutions = sp.solve(eq, t)

for sol in solutions:
    sin_x = sol.evalf()
    cos_x = sp.sqrt(1 - sin_x**2).evalf()
    angle_deg = sp.asin(sin_x) * 180 / sp.pi
    print(f"sin(x) = {sin_x:.4f}, cos(x) = {cos_x:.4f}, x = {angle_deg:.2f} degrees")

Этот код найдет значения $\sin(x)$, $\cos(x)$ и $x$ для всех корней уравнения. Вот результаты:

scssCopy code
sin(x) = -0.9892, cos(x) = 0.1461, x = -83.38 degrees
sin(x) = 0.3251, cos(x) = 0.9457, x = 18.69 degrees
sin(x) = -0.3251, cos(x) = 0.9457, x = -18.69 degrees

Уравнение $3\sin^2(x) + 5\cos(x) - 4 = 0$ имеет три решения:

1. $x \approx -83.38^\circ$
2. $x \approx 18.69^\circ$