Question

Розв'язати нерiвнiсть а) (х -4)(х-6) <0; б) (х+8)(х+5) ≤ 0; в) (5 – х)(х+0,8)≥0; г) (2х -4)х > 0. д) х² - 7х + 12 > 0; ж) 4 х² + 12 х + 9 ≤ 0; з) - х² + 2 х + 15 > 0; ё) - 5х² + 11 х - 6<0.

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Решить неравенство:

а) (х -4)(х-6) < 0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

(х -4)(х-6) = 0

х² - 6х - 4х + 24 = 0

х² - 10х + 24 = 0

D=b²-4ac = 100 - 96 = 4        √D=2

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(10-2)/2

х₁=8/2

х₁=4;                  

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(10+2)/2

х₂=12/2

х₂=6.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 4 и х= 6, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у < 0 (график ниже оси Ох) при х∈(4; 6).  

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решение неравенства х∈(4; 6).

б) (х+8)(х+5) ≤ 0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

(х+8)(х+5) = 0

х² + 5х + 8х + 40 = 0

х² + 13х + 40 = 0

D=b²-4ac =169 - 160 = 9         √D=3

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-13-3)/2

х₁= -16/2

х₁= -8;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(-13+3)/2

х₂= -10/2

х₂= -5.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -8 и х= -5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у <= 0 (график ниже оси Ох) при х∈[-8; -5].  

Причём х= -8 и х= -5 входят в интервал решений неравенства.

Неравенство нестрогое, скобки квадратные.

Решение неравенства х∈[-8; -5].

в) (5 – х)(х+0,8)≥0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

(5 – х)(х+0,8) = 0

5х + 4 - х² - 0,8х = 0

-х² + 4,2х + 4 = 0/-1     Уравнение параболы, график которой строить.

х² - 4,2х - 4 = 0

D=b²-4ac = 17,64 + 16 = 33,64         √D=5,8

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(4,2-5,8)/2

х₁= -1,6/2

х₁= -0,8;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(4,2+5,8)/2

х₂=10/2

х₂=5.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -0,8 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у>= 0 (график выше оси Ох) при х∈[-0,8; 5].  

Причём х= -0,8 и х= 5 входят в интервал решений неравенства.

Неравенство нестрогое, скобки квадратные.

Решение неравенства х∈[-0,8; 5].

г) (2х -4)х > 0.

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

2х² - 4х = 0

Разделить уравнение на 2 для упрощения:

х² - 2х = 0    Неполное квадратное уравнение.

х(х - 2) = 0

х₁ = 0;

х - 2 = 0

х₂ = 2.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 0 и х= 2, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)

при х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решение неравенства х∈(-∞; 0)∪(2; +∞).

д) х² - 7х + 12 > 0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

х² - 7х + 12 = 0

D=b²-4ac = 49 - 48 = 1        √D= 1

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(7-1)/2

х₁=6/2

х₁=3;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(7+1)/2

х₂=8/2

х₂=4.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= 3 и х= 4, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох)

при х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решение неравенства х∈(-∞; 3)∪(4; +∞).

ж) 4х² + 12х + 9 ≤ 0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

4х² + 12х + 9 = 0

D=b²-4ac = 144 - 144 = 0         √D= 0  

Уравнение имеет один корень, это значит, что парабола не пересекает ось Ох в двух точках, а "стоит" на оси Ох.

х=(-b±√D)/2a                  

х=(-12±0)/8

х= -12/8

х= -1,5.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, вершина параболы имеет абсциссу (значение х) равное -1,5, отмечаем эту точку схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что неравенство имеет только одно решение, х = -1,5. Запись в фигурных скобках.

Решение неравенства х∈{-1,5}.

з) - х² + 2х + 15 > 0;

Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:

- х² + 2 х + 15 = 0/-1      Уравнение параболы, график которой строить.

х² - 2 х - 15 = 0

D=b²-4ac = 4 + 60 = 64         √D= 8

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(2-8)/2

х₁= -6/2

х₁= -3;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(2+8)/2

х₂=10/2

х₂=5.

Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -3 и х= 5, отмечаем эти точки схематично, смотрим на график.  

По графику ясно видно, что у > 0 (график выше оси Ох) при х∈(-3; 5).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решение неравенства х∈(-3; 5).

Answer 2

Давайте розв'яжем ці нерівності одну за одною:

а) (x - 4)(x - 6) < 0 Спростимо вираз у дужках: (x - 4)(x - 6) = x² - 6x - 4x + 24 = x² - 10x + 24 Тепер розв'яжемо рівняння x² - 10x + 24 = 0, щоб знайти критичні точки: x² - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4) = 0 x₁ = 4, x₂ = 6

Тепер перевіримо інтервали між цими точками:

1. x < 4 Підставимо x = 3: (3 - 4)(3 - 6) = (-1)(-3) = 3 > 0 Таким чином, ця нерівність не виконується на цьому інтервалі.

2. 4 < x < 6 Підставимо x = 5: (5 - 4)(5 - 6) = (1)(-1) = -1 < 0 Таким чином, ця нерівність виконується на цьому інтервалі.

3. x > 6 Підставимо x = 7: (7 - 4)(7 - 6) = (3)(1) = 3 > 0 Також ця нерівність виконується на цьому інтервалі.

Відповідь: розв'язок цієї нерівності - x на інтервалах (4, 6) та (6, ∞).

б) (x + 8)(x + 5) ≤ 0 Спростимо вираз у дужках: (x + 8)(x + 5) = x² + 5x + 8x + 40 = x² + 13x + 40

Тепер розв'яжемо рівняння x² + 13x + 40 = 0, щоб знайти критичні точки: x² + 13x + 40 = (x + 8)(x + 5) = 0 x₁ = -8, x₂ = -5

Тепер перевіримо інтервали між цими точками:

1. x < -8 Підставимо x = -9: (-9 + 8)(-9 + 5) = (-1)(-4) = 4 > 0 Таким чином, ця нерівність виконується на цьому інтервалі.

2. -8 < x < -5 Підставимо x = -6: (-6 + 8)(-6 + 5) = (2)(-1) = -2 < 0 Таким чином, ця нерівність не виконується на цьому інтервалі.

3. x > -5 Підставимо x = -4: (-4 + 8)(-4 + 5) = (4)(1) = 4 > 0 Також ця нерівність виконується на цьому інтервалі.

Відповідь: розв'язок цієї нерівності - x на інтервалах (-∞, -8] та (-5, ∞).

в) (5 - x)(x + 0.8) ≥ 0 Спростимо вираз у дужках: (5 - x)(x + 0.8) = 5x + 4 - 0.8x - 0.64 = 4.2x + 4 - 0.64

Тепер розв'яжемо рівняння 4.2x + 4 - 0.64 = 0, щоб знайти критичну точку: 4.2x + 4 - 0.64 = 0 4.2x = -4 + 0.64 4.2x = -3.36 x = -3.36 / 4.2 x ≈ -0.8

Тепер перевіримо інтервали між цією точкою та крайовими значеннями:

1. x < -0.8 Підставимо x = -1: (5 - (-1))((-1) + 0.8) = (6)(-0.2) = -1.2 < 0 Таким чином, ця нерівність не виконується на цьому інтервалі.

2. x > -0.8 Підставимо x = 0: (5 - 0)((0) + 0.8) = (5)(0.8) = 4 > 0 Також ця нерівність виконується на цьому інтервалі.

Відповідь: розв'язок цієї нерівності - x на інтервалах (-∞, -0.8] та (-0.8, ∞).

г) (2x - 4)x > 0 Спростимо вираз у дужках: (2x - 4)x = 2x² - 4x

Тепер розв'яжемо рівняння 2x² - 4x = 0,