Question

Неопределенный интергал от x cos 2xdx

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \: x \cos(2x) dx$

по частям:

$U = x \: \: \: \: \: \: dU= dx \\ \\ dV = \cos(2x)dx \: \: \: \: V = \frac{1}{2} \int\limits \cos(2x) dx = \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{2} \sin(2x)$

$UV - \int\limits \: VdU = \\ = \frac{x}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) dx = \\ = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \int\limits \sin(2x) d(2x) = \\ = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cos(2x) + C$

Answer 2

Чтобы вычислить неопределенный интеграл от функции $x \cos(2x)$, нужно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$$

где $u$ и $v$ - это выбранные функции, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы. Давайте выберем $u$ и $dv$:

$u = x$ и $dv = \cos(2x) \, dx$.

Теперь найдем их дифференциалы:

$du = dx$ и $v = \int \cos(2x) \, dx$.

Теперь интегрируем $v$ по $dx$. Для интегрирования $\cos(2x)$ мы получим:

$$\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная интеграции.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$$\int x \cos(2x) \, dx = uv - \int v \, du = x \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) - \int \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) \, dx.$$

Теперь интегрируем последний интеграл:

$$\int \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C,$$

где $C$ - еще одна произвольная постоянная.

Итак, окончательный результат:

$$\int x \cos(2x) \, dx = x \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная интеграции.