Question

Доказать что число 27⁷+3¹⁸ делиться на 7

Answer 1

27⁷+3¹⁸ = (3³)⁷+3¹⁸ = 3²¹+3¹⁸ = 3¹⁸(3³+1) = 28*3¹⁸ – делится на 7.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

27^7 + 3^18 = 27^7 + (3^3)^6 = 27^7 + 27^6 = 27^6(27+1) = 27^6 * 28;

28 = 7*4, 27 кратно 7, то есть все выражение 27^6*28 кратно 7 => 27^7 +3^18 кратно 7. Что и требовалось доказать.

Answer 3

Чтобы доказать, что число $27^7 + 3^{18}$ делится на 7, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма. Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$, то:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

В данном случае $p = 7$, и мы хотим доказать, что $27^7 + 3^{18}$ делится на 7. Давайте разберемся с обоими членами отдельно.

1. $27^7$: Мы видим, что 27 - это $3^3$, поэтому $27^7 = (3^3)^7 = 3^{3 \cdot 7} = 3^{21}$. Согласно малой теореме Ферма, $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$, так как 6 - это $7 - 1$. Таким образом:

   $3^{21} = (3^6)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{7}$

2. $3^{18}$: Опять же, используя малую теорему Ферма, мы можем утверждать, что $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Так как $18 = 3 \cdot 6$, то:

   $3^{18} = (3^6)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь мы видим, что оба члена $27^7$ и $3^{18}$ дают остаток 1 при делении на 7.

Теперь мы можем объединить эти два члена и увидеть, что:

$27^7 + 3^{18} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$

Таким образом, число $27^7 + 3^{18}$ имеет остаток 2 при делении на 7. Это означает, что оно не делится на 7, так как остаток не равен нулю.