Question

Найти критические точки: y=x^3+x^2-5x-11

Answer 1

$y=x^3+x^2-5x-11\\y'=3x^2+2x-5$

$3x^2+2x-5=0\\D=\sqrt{2^2-4*3*(-5)} =\sqrt{64} =б8\\\\x_1=\frac{-2+8}{6}=1 \\\\x_2=\frac{-2-8}{6} =-\frac{5}{3}$

Answer 2

Для нахождения критических точек функции $y = x^3 + x^2 - 5x - 11$, мы сначала найдем ее производную и затем приравняем ее к нулю, чтобы найти значения $x$, в которых производная равна нулю. Эти значения $x$ будут критическими точками.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 + 2x - 5 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или дискриминант. Давайте воспользуемся дискриминантом. Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 3$, $b = 2$, и $c = -5$, поэтому: $D = (2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64$

Теперь мы можем найти два значения $x$, используя формулу для дискриминанта: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Итак, у нас есть две критические точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{5}{3}$.

Для нахождения соответствующих значений $y$ в этих точках, подставим их обратно в исходную функцию: $y(1) = (1)^3 + (1)^2 - 5(1) - 11 = 1 + 1 - 5 - 11 = -14$ $y\left(-\frac{5}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{3}\right) - 11$

Вычислим значение $y$ для $x_2$: $y\left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 11$

Далее можно упростить это значение. Окончательные критические точки: $x_1 = 1, \quad y_1 = -14$ 0 0