Question

Доведіть що число 7¹⁰-7⁹+7⁸ ділиться на 43​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:7¹⁰-7⁹+7⁸=7⁸(7²-7+1)=7⁸·43--делится на 43   ч.т.д.

Answer 2

Для доведення, що число $7^{10} - 7^9 + 7^8$ ділиться на 43, ми можемо скористатися малим теоремою Ферма. Малий теорема Ферма стверджує, що якщо $p$ - просте число і $a$ - ціле число, яке не ділиться на $p$, то

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$

В нашому випадку $p = 43$, і ми маємо довести, що $7^{42} \equiv 1 \pmod{43}$.

Спочатку розглянемо $7^{42}$:

$7^{42} = 7^{10 \cdot 4 + 2} = (7^{10})^4 \cdot 7^2.$

Ми знаємо, що $7^{10}$ ділиться на $43$, оскільки $7^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{43}$ (за малим теоремою Ферма). Тепер ми можемо підставити це в рівняння:

$7^{42} = (7^{10})^4 \cdot 7^2 \equiv 1^4 \cdot 7^2 \equiv 7^2 \pmod{43}.$

Тепер ми бачимо, що $7^{42} \equiv 7^2 \pmod{43}$. Але ми також можемо розкласти початковий вираз $7^{10} - 7^9 + 7^8$ на дільники $7^8$ і використовувати теорему Ферма для кожного з них:

$7^{10} - 7^9 + 7^8 = 7^8 \cdot (7^2 - 7 + 1).$

Ми вже показали, що $7^{42} \equiv 7^2 \pmod{43}$, і зараз ми можемо показати, що $7^2 - 7 + 1 \equiv 7^2 - 7^1 + 7^0 \equiv 49 - 7 + 1 \equiv 43 \equiv 0 \pmod{43}$.

Отже, ми довели, що $7^{10} - 7^9 + 7^8$ ділиться на 43, використовуючи малий теорему Ферма.