Question

Уравнение 7y3−x2+6=0 не имеет решений в целых числах, что можно доказать, рассмотрев остатки при делении на N. Чему может быть равно N? 2 3 4 5 7 8 9

Answer 1

Ответ:

7  Проверено Сириусом

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим уравнение 7y^3 - x^2 + 6 = 0 в целых числах и применим метод анализа остатков при делении на различные значения N.

У нас есть уравнение:

7y^3 - x^2 + 6 ≡ 0 (mod N)

Чтобы убедиться, что данное уравнение не имеет решений в целых числах, мы можем рассмотреть остатки при делении на различные значения N. Если мы найдем такое значение N, при котором остаток этого выражения не может быть равен 0, то мы сможем сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

1. Попробуем N = 2: 7y^3 - x^2 + 6 ≡ 1 - x^2 + 0 (mod 2)

Заметим, что x^2 может быть равным либо 0, либо 1 по модулю 2. Но тогда 1 - x^2 может быть равным 0 или 1. В любом случае, это не может быть равно 6 по модулю 2. Таким образом, N = 2 не подходит.

2. Попробуем N = 3: 7y^3 - x^2 + 6 ≡ 1 - x^2 (mod 3)

Теперь x^2 может быть равным 0, 1 или 4 по модулю 3. Но в любом случае, 1 - x^2 не может быть равным 6 по модулю 3. Таким образом, N = 3 не подходит.

3. Попробуем N = 5: 7y^3 - x^2 + 6 ≡ 2 - x^2 + 1 (mod 5)

Теперь x^2 может быть равным 0, 1, 4, 9 или 16 по модулю 5. Но 2 - x^2 не может быть равным 6 по модулю 5. Таким образом, N = 5 не подходит.

4. Попробуем N = 7: 7y^3 - x^2 + 6 ≡ 6 (mod 7)

Здесь, даже если x и y принимают любые целые значения, выражение всегда будет равно 6 по модулю 7. Таким образом, N = 7 подходит, но это не доказывает отсутствие решений.

5. Попробуем другие значения N: Мы уже видели, что для N = 2, 3, и 5 уравнение не имеет решений. Для остальных значений N (4, 8, и 9) также можно показать, что оно не имеет решений в целых числах.

Итак, уравнение 7y^3 - x^2 + 6 = 0 не имеет решений в целых числах ни при одном из рассмотренных значений N: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.