Question

Алгебра 100 Баллов1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 1/2; при n>=2

Answer 1

Для $1\leq j \leq n$ выполнено неравенство $\frac{1}{n+j}\geq \frac{1}{2n}$, причем равенство возможно в единственном случае: при $j=n$. Поэтому $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+ \frac{1}{2n} > \frac{1}{2n}\cdot n = \frac{1}{2}$.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение по индукции.

Базовый случай (n = 2): Подставим n = 2 в выражение:

1/(2+1) + 1/(2+2) = 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

7/12 больше чем 1/2, поэтому базовый случай верен.

Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого целого положительного числа k, то есть:

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + 1/(2k) > 1/2

Индукционный переход: Теперь докажем, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1. Рассмотрим выражение для k + 1:

1/(k+2) + 1/(k+3) + ... + 1/(2(k+1))

Мы можем разложить это выражение следующим образом:

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + 1/(2k) + 1/(2(k+1))

Мы знаем, что по предположению индукции:

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + 1/(2k) > 1/2

И мы видим, что добавление 1/(2(k+1)) в это выражение делает его больше 1/2, так как 1/(2(k+1)) > 0.

Таким образом, если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1.

Мы уже проверили базовый случай (n = 2) и показали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно верно и для k + 1. Поэтому по принципу математической индукции данное утверждение верно для всех n >= 2:

1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 1/2; при n >= 2