Question

Упрости выражение, преобразуй произведение в сумму sin10°⋅cos10°⋅2(sin239°+cos239°)+cos51°⋅cos18

Answer 1

sin10°⋅cos10°⋅2(sin239°+cos239°)+cos51°⋅cos18 = 2sin10°⋅cos10°⋅(sin239°+cos239°)+cos51°⋅cos18 = sin20°⋅(sin239°+cos239°)+cos51°⋅cos18 = sin20°⋅sin239°+ sin20°⋅cos239°+cos51°⋅cos18 = 1,59315

Ответ:

1,59315

Answer 2

Для упрощения этого выражения мы можем использовать тригонометрические идентичности. Начнем с преобразования произведения в сумму:

1. sin(10°)⋅cos(10°)⋅2(sin(239°)+cos(239°)) = sin(20°)⋅2(sin(239°)+cos(239°))

Далее мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

• sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
• sin(θ) + cos(θ) = √2sin(θ + 45°)

Применим их:

2. sin(20°)⋅2(sin(239°)+cos(239°)) = sin(20°)⋅2√2sin(239° + 45°)

Теперь у нас есть сумма вида sin(θ)⋅sin(θ'):

3. sin(20°)⋅2√2sin(239° + 45°) = 2√2sin(20°)sin(239° + 45°)

Для упрощения этой суммы синусов мы можем использовать тригонометрическую формулу синуса для разности углов:

• sin(α)sin(β) = (1/2)cos(α - β) - (1/2)cos(α + β)

Применим это к нашей сумме:

4. 2√2sin(20°)sin(239° + 45°) = 2√2[(1/2)cos(239° + 45° - 20°) - (1/2)cos(239° + 45° + 20°)]

Теперь вычислим углы:

• 239° + 45° - 20° = 264°
• 239° + 45° + 20° = 304°

Подставим эти значения обратно в выражение:

5. 2√2[(1/2)cos(264°) - (1/2)cos(304°)]

Теперь используем тригонометрические значения косинусов для этих углов:

• cos(264°) = -cos(96°)
• cos(304°) = cos(56°)

Подставим их:

6. 2√2[(1/2)(-cos(96°)) - (1/2)cos(56°)]

Теперь можно вычислить косинусы углов:

• cos(96°) = cos(180° - 96°) = cos(84°)
• cos(56°) = cos(56°)

Подставим их:

7. 2√2[(1/2)(-cos(84°)) - (1/2)cos(56°)]

Теперь у нас есть окончательное упрощенное выражение:

8. -√2(cos(84°) + cos(56°))

Теперь можно вычислить численное значение этого выражения.