Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ. Решите систему уравнений 2x+y=3 3x^2+4xy+7y^2+X+8y=5

Answer 1

Ответ:

$(2; -1) \quad ; \quad (1\dfrac{18}{23} ;-\dfrac{13}{23}) \quad ;$

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{2x+y=3} \atop {3x^{2}+4xy+7y^{2}+x+8y=5}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2x+y=3} \atop {4x^{2}+4xy+y^{2}-x^{2}+6y^{2}+x+8y=5}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left \{ {{2x+y=3} \atop {(2x+y)^{2}-x^{2}+6y^{2}+x+8y=5}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2x+y=3} \atop {9-x^{2}+6y^{2}+x+8y=5}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{y=3-2x} \atop {9-(x^{2}-6y^{2}-x-8y)=5}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{y=3-2x} \atop {x^{2}-6 \cdot (3-2x)^{2}-x-8 \cdot (3-2x)=4}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{y=3-2x} \atop {x^{2}-6 \cdot (9-12x+4x^{2})-x-24+16x-4=0}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{y=3-2x} \atop {x^{2}-54+72x-24x^{2}+15x-28=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=3-2x} \atop {-23x^{2}+87x-82=0}} \right. ;$

$-23x^{2}+87x-82=0 \quad | \quad \cdot (-1)$

$23x^{2}-87x+82=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-87)^{2}-4 \cdot 23 \cdot 82=87^{2}-4 \cdot (20+3) \cdot (80+2)=(90-3)^{2}-4 \cdot$

$\cdot (20 \cdot 80+20 \cdot 2+3 \cdot 80+3 \cdot 2)=8100-540+9-4 \cdot (1600+40+240+6)=$

$=8100-540+9-6400-160-960-24=1700-700-960-15=1000-960-15=$

$=40-15=25;$

$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \Rightarrow x_{1}=\dfrac{-(-87)+\sqrt{25}}{2 \cdot 23}=\dfrac{87+5}{46}=\dfrac{92}{46}=2;$

$x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} \Rightarrow x_{2}=\dfrac{-(-87)-\sqrt{25}}{2 \cdot 23}=\dfrac{87-5}{46}=\dfrac{82}{46}=\dfrac{41}{23}=1\dfrac{18}{23};$

$x_{1}=2 \Rightarrow y_{1}=3-2 \cdot 2=3-4=-1;$

$x_{2}=1\dfrac{18}{23} \Rightarrow y_{2}=3-2 \cdot 1\dfrac{18}{23}=3-2\dfrac{36}{23}=3-3\dfrac{13}{23}=-\dfrac{13}{23};$

$(2; -1) \quad ; \quad (1\dfrac{18}{23} ;-\dfrac{13}{23}) \quad ;$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений с двумя переменными x и y сначала преобразуем второе уравнение так, чтобы оно содержало только переменные x и y:

3x^2 + 4xy + 7y^2 + x + 8y = 5

Это уравнение является квадратным относительно x и y, поэтому мы можем использовать метод подстановки или выразить x или y из первого уравнения и подставить это значение во второе уравнение.

Давайте начнем с выражения x из первого уравнения:

2x + y = 3

2x = 3 - y

x = (3 - y)/2

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение:

3((3 - y)/2)^2 + 4((3 - y)/2)y + 7y^2 + ((3 - y)/2) + 8y = 5

Далее, упростим это уравнение:

(9/4) * (9 - 6y + y^2) + 2(3 - y)y + 7y^2 + (3/2) - (y/2) + 8y = 5

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

9(9 - 6y + y^2) + 8(3 - y)y + 28y^2 + 6 - y + 32y = 20

Раскроем скобки:

81 - 54y + 9y^2 + 24y - 8y^2 + 28y^2 + 6 - y + 32y = 20

Теперь сгруппируем подобные члены и упростим:

9y^2 - 54y + 81 - 8y^2 + 24y + 28y^2 + 6 - y + 32y = 20

29y^2 - y + 87 = 20

Теперь приведем все члены уравнения на одну сторону:

29y^2 - y + 87 - 20 = 0

29y^2 - y + 67 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной y. Мы можем использовать квадратную формулу для его решения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 29, b = -1, и c = 67. Подставим эти значения:

y = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 29 * 67)) / (2 * 29)

y = (1 ± √(1 - 7748)) / 58

Теперь вычислим значение под корнем:

1 - 7748 = -7747

Так как дискриминант (значение под корнем) отрицательный, это означает, что уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет действительных решений.

Таким образом, данная система уравнений не имеет решений в действительных числах.