Question

Найдите производную функцию f(x)=(4x^2-x^4)^2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$ сначала используем цепное правило дифференцирования, которое утверждает, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Давайте обозначим: $u(x) = 4x^2 - x^4$ и $v(u) = u^2$.

Теперь мы можем выразить $f(x)$ как композицию этих двух функций: $f(x) = v(u(x))$.

Теперь вычислим производные:

1. Найдем производную внутренней функции $u(x)$: $u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - x^4) = 8x - 4x^3.$

2. Теперь найдем производную внешней функции $v(u)$: $v'(u) = \frac{d}{du}(u^2) = 2u.$

3. Используя цепное правило, найдем производную $f(x)$: $f'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) = 2u(x) \cdot (8x - 4x^3).$

Теперь подставим обратно значение $u(x)$: $f'(x) = 2(4x^2 - x^4) \cdot (8x - 4x^3).$

Теперь упростим это выражение: $f'(x) = 2(4x^2 - x^4)(8x - 4x^3) = 2(4x^2 \cdot 8x - 4x^2 \cdot 4x^3 - x^4 \cdot 8x + x^4 \cdot 4x^3).$

$f'(x) = 2(32x^3 - 16x^5 - 8x^5 + 4x^7).$

$f'(x) = 2(32x^3 - 24x^5 + 4x^7).$

Таким образом, производная функции $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$ равна: $f'(x) = 64x^3 - 48x^5 + 8x^7.$