Question

Решите уравнение 3sin2x = 4cos2x

Answer 1

Ответ:Формула преобразования тригонометрического выражения

Вспомогательный аргумент определяется из условий

=====================================================

Объяснение:

Answer 2

Чтобы решить уравнение $3\sin(2x) = 4\cos(2x)$, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$

Теперь перепишем уравнение, используя эти тождества:

$3 \cdot 2\sin(x)\cos(x) = 4(\cos^2(x) - \sin^2(x))$

$6\sin(x)\cos(x) = 4\cos^2(x) - 4\sin^2(x)$

Разделим обе стороны на 2:

$3\sin(x)\cos(x) = 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)$

Теперь заменим $\sin(x)\cos(x)$ на $\frac{1}{2}\sin(2x)$:

$3 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)$

$\frac{3}{2}\sin(2x) = 2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)$

Теперь заменим $\sin(2x)$ и $\cos^2(x)$ через известные тригонометрические тождества:

$\frac{3}{2}\cdot 2\sin(x)\cos(x) = 2(1 - \sin^2(x)) - 2\sin^2(x)$

$3\sin(x)\cos(x) = 2 - 4\sin^2(x) - 2\sin^2(x)$

$3\sin(x)\cos(x) = 2 - 6\sin^2(x)$

Теперь заменим $\sin(x)\cos(x)$ на $\frac{1}{2}\sin(2x)$:

$3 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = 2 - 6\sin^2(x)$

$\frac{3}{4}\sin(2x) = 2 - 6\sin^2(x)$

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

$3\sin(2x) = 8 - 24\sin^2(x)$

Теперь перепишем в виде квадратного уравнения относительно $\sin(x)$:

$24\sin^2(x) + 3\sin(2x) - 8 = 0$

Заменим $\sin(2x)$ на $2\sin(x)\cos(x)$:

$24\sin^2(x) + 6\sin(x)\cos(x) - 8 = 0$

Теперь заменим $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$:

$24(1 - \cos^2(x)) + 6\sin(x)\cos(x) - 8 = 0$

Раскроем скобки:

$24 - 24\cos^2(x) + 6\sin(x)\cos(x) - 8 = 0$

Переносим все члены на одну сторону:

$24\cos^2(x) - 6\sin(x)\cos(x) - 16 = 0$