Question

Звести до однорідного рівняння: 5sin²x+3sinx cosx-4=0​

Answer 1

Решение:

5sin²x + 3sinx × cosx - 4 = 0​

5sin²x + 3sinx × cosx - 4×1 = 0​

5sin²x + 3sinx × cosx - 4(sin²x + cos²x) = 0

5sin²x + 3sinx × cosx - 4sin²x - 4cos²x = 0

sin²x + 3sinx × cosx - 4cos²x = 0 | : cos²x

tg²x + 3tgx - 4 = 0

Пусть tgx = a, тогда:

a² + 3a - 4 = 0

D = 3² - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25

D>0, 2 корня

x₁ = -3+√25/2×1 = -3+5/2 = 2/2 = 1

x₂ = -3-√25/2×1 = -3-5/2 = -8/2 = -4

tgx = 1           или      tgx = - 4

x₁ = π/4 + πn, n∈Z     x₂ = arctg(-4) + πn, n∈Z

                                 x₂ = - arctg 4 + πn, n∈Z

Ответ: x₁ = π/4 + πn, n∈Z

            x₂ = - arctg 4 + πn, n∈Z

Answer 2

Для зведення даного рівняння до однорідного вигляду ми можемо використовувати підстановки. Давайте розглянемо підстановку:

$u = \sin(x)$

Тепер ми можемо виразити $\cos(x)$ через $u$:

$\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)} = \sqrt{1 - u^2}$

Тепер ми можемо замінити $\sin(x)$ та $\cos(x)$ у початковому рівнянні:

$5u^2 + 3u\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0$

Це рівняння має вигляд однорідного квадратного рівняння, де змінна $u$ з'являється тільки у вигляді $u^2$. Тому ми можемо використовувати стандартний метод розв'язання квадратних рівнянь. Спростимо його:

$5u^2 + 3u\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0$

Спершу перемножимо обидві сторони на $\sqrt{1 - u^2}$, щоб позбавитися від додаткового кореня:

$5u^2\sqrt{1 - u^2} + 3u(1 - u^2) - 4\sqrt{1 - u^2} = 0$

Тепер розглянемо це як квадратне рівняння зі змінною $u^2$:

$5(u^2)^2 + 3u(1 - u^2) - 4\sqrt{1 - u^2} = 0$

$5u^4 + 3u - 3u^3 - 4\sqrt{1 - u^2} = 0$

Тепер ми маємо однорідне рівняння, яке можна розв'язати. Після знаходження коренів для $u$, не забудьте підставити їх назад, використовуючи початкову підстановку $u = \sin(x)$, щоб отримати значення $x$.