Question

1. Решить уравнения: a) (sin2x- 1)ctgx =0 б) cosx - cos(pi -2x) =0

Answer 1

Ответ:

а)sin2x \ (1 + ctgx) = 0;

По основному свойству дроби: числитель дроби равен, а знаменатель не равен нулю. Тогда получим систему из двух уравнений:

sin2x = 0 и (1 + ctgx) ≠ 0;

Решаем отдельно каждое из них:

1) 1 + ctgx ≠ 0;

ctgx ≠ -1;

x ≠ -arcctg(1) + ╥K, K є Z;

x ≠ -╥ / 4 + ╥K, K є Z;

2) sin2x = 0;

2x = ╥k, K є Z;

x = ╥k / 2, K є Z;

Так как полученные решения не совпадают с ограничениями уравнения, то можем записать ответ.

Ответ: x = ╥k / 2, K є Z.

б)Раскроем скобки. Для этого будем использовать формулы приведения:

cosx+cosx-cosx=0.

В полученном выражении есть два слагаемых одинаковых, но разные по знаку, в сумме они дают 0, поэтому:

cosx=0.

Это уравнение представляет собой частный случай:

x=п/2+пn, n принадлежит Z.

Ответ: п/2+пn, n принадлежит Z.

Answer 2

a) Давайте решим уравнение (sin2x - 1)ctgx = 0:

(sin2x - 1)ctgx = 0

Сначала разберемся с первым множителем:

sin2x - 1 = 0

sin2x = 1

Теперь найдем все решения этого уравнения на отрезке [0, 2π]. Помните, что sin(π/2) = 1.

2x = π/2

x = π/4

Теперь разберемся с вторым множителем:

ctgx = 0

Это уравнение имеет решение при ctgx = 0, что эквивалентно тому, что tgx = бесконечности. Такие точки находятся в точках, где тангенс равен нулю:

x = πk, где k - целое число.

Теперь объединим оба множителя:

x = π/4 и x = πk, где k - целое число.

b) Теперь рассмотрим уравнение cosx - cos(π - 2x) = 0:

cosx - cos(π - 2x) = 0

Сначала воспользуемся формулой косинуса разности:

cos(π - 2x) = cosπ * cos2x + sinπ * sin2x

Так как cosπ = -1 и sinπ = 0, у нас есть:

cos(π - 2x) = -cos2x

Теперь уравнение выглядит так:

cosx + cos2x = 0

Теперь можно решить это уравнение:

cosx + cos2x = 0

cosx + 2cos^2x - 1 = 0

2cos^2x + cosx - 1 = 0

Теперь это уравнение квадратное. Решим его, используя квадратное уравнение:

D = cosx^2 - 4 * 2 * (-1) = cosx^2 + 8

cosx = (-1 ± √(cosx^2 + 8)) / 4

Теперь найдем корни:

1. cosx = (-1 + √(cosx^2 + 8)) / 4
2. cosx = (-1 - √(cosx^2 + 8)) / 4

Решения будут зависеть от значения cosx, их точные значения можно найти с помощью калькулятора.