Question

Sin (2x) - cos( x) =√3 *sinxРешить тригонометрическое уравнение​

Answer 1

Ответ:

Решений нет! Возможно, вы неправильно переписали условие. Если бы перед синусом двойного угла стоял коэффициент два, уравнение решалось бы проще. С этим же условием решение куда сложнее. Но я всё равно приведу его.

Объяснение:

$sin2x=2sinxcosx$

$sinxcosx=\frac{\sqrt{3} }{2} sinx+\frac{1}{2}cosx$

Пусть $a=sinx, b=cosx$. Имеем систему:

$\left \{ {{ab=\frac{\sqrt{3} }{2}a+\frac{1}{2}b } \atop {a^2+b^2=1}} \right.$

Первое уравнение преобразуем:

$></p> <p>Из второго <img src=$. Подставим:

$></p> <p>Раскрываем скобки и получаем:</p> <p><img src=$

$b=cosx, |b|\leq 1$

Видно, что $-1\leq b$ (при $0\leq b\leq 1$   $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}>0$).

Если $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$, то $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)$. Учитывая, что $b$, приходим к следующему:

$b^3-\sqrt{3} b^2+\sqrt{3} >0$

Исследуем эту функцию. $f(b)=b^3-\sqrt{3} b^2+\sqrt{3}$.

$f'(b)=3b^2-2\sqrt{3}b$. $f'(b)=0$⇔$b=0$  или  $b=\frac{2}{\sqrt{3} }$. Следовательно, на множестве $[-1;0)$ функция возрастает. То есть наименьшее значение

$b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)$  достигается при $b$→$0-0$.

Пусть $b=-\varepsilon, \varepsilon>0$.

$b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$

$\varepsilon^4+\sqrt{3}\varepsilon^3-\sqrt{3}\varepsilon +\frac{3}{4}=0$

Раз уж эпсилон-бесконечно малая величина, равенство не выполняется. Таким образом, мы доказали, что если $|b|\leq 1$, то

уравнение $b^4-\sqrt{3}b(b^2-1)+\frac{3}{4}=0$, к которому мы свели исходное, не имеет решений.

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

$\sin(2x) - \cos(x) = \sqrt{3}\sin(x)$

Для начала давайте используем тригонометрические идентичности для $\sin(2x)$ и $\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = \sqrt{3}\sin(x)$

Теперь выразим $\sin(x)$ слева:

$2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0$

Сгруппируем члены с $\sin(x)$:

$(2\cos(x) - \sqrt{3})\sin(x) - \cos(x) = 0$

Теперь выразим $\sin(x)$:

$\sin(x) = \frac{\cos(x)}{2\cos(x) - \sqrt{3}}$

Заметим, что $\cos(x)$ не может быть равен нулю, так как в знаменателе есть $2\cos(x)$, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль.

Теперь, чтобы найти значения $x$, для которых уравнение выполняется, нам нужно найти такие значения $\cos(x)$, что выражение справа равно $\sqrt{3}$ (так как $\sin(x)/\cos(x) = \tan(x)$).

$\frac{\cos(x)}{2\cos(x) - \sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $\cos(x)$:

$\cos(x) = \sqrt{3}(2\cos(x) - \sqrt{3})$

Раскроем скобки:

$\cos(x) = 2\sqrt{3}\cos(x) - 3$

Теперь выразим $\cos(x)$:

$\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos(x) = -3$

$(1 - 2\sqrt{3})\cos(x) = -3$

$\cos(x) = \frac{-3}{1 - 2\sqrt{3}}$

Теперь найдем значения $\cos(x)$:

$\cos(x) \approx 0.2679$

Теперь, когда мы нашли значение $\cos(x)$, мы можем найти соответствующие значения $\sin(x)$, используя исходное уравнение:

$\sin(x) = \frac{\cos(x)}{2\cos(x) - \sqrt{3}} \approx \frac{0.2679}{2*0.2679 - \sqrt{3}} \approx 0.6345$

Итак, у нас есть два решения этого уравнения:

1. $x_1$, где $\cos(x_1) \approx 0.2679$ и $\sin(x_1) \approx 0.6345$.
2. $x_2$, где $\cos(x_2) \approx 0.2679$ и $\sin(x_2) \approx -0.6345$.

Пожалуйста, обратите внимание, что это приблизительные значения, округленные до четырех знаков после запятой. Вы можете использовать калькулятор или программу для точных вычислений, если точность важна.