Question

Доказать, что для любого натурального числа n значение выражения (n+2)×(n+4)-(n+1)×(n+5) делится на 3ПОМОГИТЕ ПРОШУ​

Answer 1

Ответ:

Вот ответ для вас:

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем использовать метод математической индукции. Математическая индукция - это метод доказательства для утверждений, которые зависят от натуральных чисел.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1) Для n = 1, выражение становится: (1+2)×(1+4)-(1+1)×(1+5) = 3×5 - 2×6 = 15 - 12 = 3

Значение выражения равно 3, и оно делится на 3.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого натурального числа k, выражение (k+2)×(k+4)-(k+1)×(k+5)

делится на 3.

Шаг 3: Доказательство для k+1 Теперь докажем, что утверждение верно и для k+1: ((k+1)+2)×((k+1)+4)-((k+1)+1)×((k+1)+5)

Мы можем раскрыть скобки и использовать предположение индукции: (k+3)×(k+5)-(k+2)×(k+6)

Теперь давайте вынесем общий множитель (k+3) за скобку: (k+3)×[(k+5)-(k+2)×(k+6)]

Теперь мы видим, что внутреннее выражение (k+5)-(k+2)×(k+6) является разностью двух слагаемых, и мы можем упростить его: (k+5)-(k+2)×(k+6) = k+5-(k+2k+12) = k+5-(3k+12) = k+5-3k-12 = -2k-7

Теперь подставим это обратно в выражение: (k+3)×[-2k-7]

Мы видим, что это выражение содержит множитель 3, так как (k+3) делится на 3, и -2k-7 - это целое число. Следовательно, исходное выражение также делится на 3 для k+1.

Таким образом, мы показали, что если выражение (n+2)×(n+4)-(n+1)×(n+5)

делится на 3 для натурального числа n, то оно также делится на 3 для n+1. Из базового случая и индукционного шага следует, что данное выражение делится на 3 для всех натуральных чисел n.