Question

Найдите критические точки функции. Укажите, какие из них являются точками минимума, какие-точками максимума a) f(x) = 3x^2 – 2;б) f(x) = 3x - x^2 + 1;в) f(x) = 7x^2 + 3;г) f(x) = 5x^2 - 8x - 3.​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ f(x)=3x^2-2\\\\f'(x)=6x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=-2\ \ ,\ \ \ A(0;-2)\\\\\\2)\ \ f(x)=7x^2+3\\\\f'(x)=14x=0\ \ \to \ \ x=0\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0\ \ ,\ \ y_{mix}=3\ \ ,\ \ \ A(0;3)$

$3)\ \ f(x)=3x-x^2+1\\\\f'(x)=3-2x=0\ \ \to \ \ x=1,5\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++(1,5)---\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \nearrow \ \ \ (max)\ \ \searrow \\\\x_{min}=1,5\ \ ,\ \ y_{mix}=3,25\ \ ,\ \ \ A(\ 1,5\ ;\ 3,25\ )\\\\\\4)\ \ f(x)=5x^2-8x-3\\\\f'(x)=10x-8=0\ \ \to \ \ x=0,8\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(0,8)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \ \ \ (min)\ \ \nearrow \\\\x_{min}=0,8\ \ ,\ \ y_{mix}=-6,2\ \ ,\ \ \ A(\ 0\ ;\, -6,2\ )$

Answer 2

Чтобы найти критические точки функций и определить, являются ли они точками минимума или максимума, мы сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю (критические точки). Затем мы используем вторую производную и тест на вторую производную, чтобы определить характер этих точек (минимум, максимум или седловая точка).

a) f(x) = 3x^2 - 2: Первая производная: f'(x) = 6x Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение: 6x = 0 x = 0

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 0. Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = 6

Вторая производная положительна (f''(x) > 0) для любого x, поэтому x = 0 является точкой минимума.

б) f(x) = 3x - x^2 + 1: Первая производная: f'(x) = 3 - 2x Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение: 3 - 2x = 0 2x = 3 x = 3/2

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 3/2. Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = -2

Вторая производная отрицательна (f''(x) < 0) для любого x, поэтому x = 3/2 является точкой максимума.

в) f(x) = 7x^2 + 3: Первая производная: f'(x) = 14x Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение: 14x = 0 x = 0

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 0. Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = 14

Вторая производная положительна (f''(x) > 0) для любого x, поэтому x = 0 является точкой минимума.

г) f(x) = 5x^2 - 8x - 3: Первая производная: f'(x) = 10x - 8 Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение: 10x - 8 = 0 10x = 8 x = 8/10 x = 4/5

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 4/5. Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = 10

Вторая производная положительна (f''(x) > 0) для любого x, поэтому x = 4/5 является точкой минимума.

Итак, критические точки и их характер для данных функций:

a) x = 0 - точка минимума. б) x = 3/2 - точка максимума. в) x = 0 - точка минимума. г) x = 4/5 - точка минимума.