Question

Sin3x-cos3x=1 пожалуйста ❣

Answer 1

$\sin(3x) - \cos(3x) = 1 \: \: \: | \times \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin(3x) - \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos(3x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos( \frac{\pi}{4} ) \sin(3x) - \sin( \frac{\pi}{4} ) \cos(3x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin(3x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ 3x_1 - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi \: n \\ 3x_1 = \frac{\pi}{2}+2\pi \: n \\ x_1 =\frac{\pi}{6}+ \frac{2\pi \: n}{3} \\ \\ 3x_2 - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \: n \\ 3x_2 = \pi + 2\pi \: n \\ x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{ 2 \pi \: n }{3}$

n принадлежит Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение $\sin(3x) - \cos(3x) = 1$.

Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

$\sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)$

$\cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)$

Теперь подставим эти значения в уравнение:

$\sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) = 1$

Теперь преобразуем уравнение:

$\sin(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) = 1$

$\sin(2x)[\cos(x) + \sin(x)] = 1$

Разделим обе стороны на $\cos(x) + \sin(x)$:

$\sin(2x) = \frac{1}{\cos(x) + \sin(x)}$

Теперь выразим $\sin(2x)$ через $\tan(x)$ (тангенс):

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 2\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cos(x) = 2\tan(x)\cos(x)$

Подставим это обратно в уравнение:

$2\tan(x)\cos(x) = \frac{1}{\cos(x) + \sin(x)}$

Умножим обе стороны на $\cos(x) + \sin(x)$:

$2\tan(x)\cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) = 1$

$2\tan(x)\cos^2(x) + 2\tan(x)\cos(x)\sin(x) = 1$

$2\sin(x) = 1$

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

Теперь найдем угол $x$ в пределах $0 \leq x < 2\pi$ такой, что $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Обычно это угол $\frac{\pi}{6}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Таким образом:

$x = \frac{\pi}{6}$

Теперь мы найдем все решения уравнения, добавив к $x$ период $\frac{2\pi}{3}$ (период функций $\sin$ и $\cos$):

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

где $n$ - целое число (положительное, отрицательное или ноль).