Question

Докажите, что n^3-n делится на 24 при любом нечётном n.

Answer 1

Ответ:

Представим в виде : n * ( n + 1)*( n - 1)

Это число - произведение 3-х последовательных чисел. Значит оно делится на 3 .

Пусть n - нечетное и равно 2м+1.

Тогда выражение принимает вид n*(2м+2)*2м=4*n*(м+1)*м,

т.е. оно делится на 4. Итак число делится на 12. Но из пары (м+1) и (м) одно обезательно четное. Значит число делится на24. Что и требуется.

Answer 2

Отметьте пожалуйста лучшим решением и поставьте сердечко

Answer 3

Для доказательства, что выражение n^3 - n делится на 24 при любом нечётном n, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Индукция - это метод математического доказательства, который базируется на двух шагах: базовом шаге и индукционном шаге.

Базовый шаг: Для начала, давайте проверим, выполняется ли утверждение для n = 1 (первое нечётное натуральное число):

n = 1 1^3 - 1 = 0

Заметим, что 0 действительно делится на 24.

Индукционный шаг: Предположим, что утверждение верно для некоторого нечётного числа k, то есть:

k^3 - k делится на 24.

Теперь докажем, что оно верно и для числа k + 2 (следующего нечётного числа):

(k + 2)^3 - (k + 2)

Раскроем куб и упростим:

(k + 2)^3 - (k + 2) = k^3 + 6k^2 + 12k + 8 - (k + 2) (k^3 - k) + 6k^2 + 12k + 8 - (k + 2)

Мы видим, что первый член k^3 - k делится на 24 в соответствии с нашим предположением (индукционным предположением). Теперь давайте рассмотрим оставшуюся часть выражения:

6k^2 + 12k + 8 - (k + 2) = 6k^2 + 11k + 6

Теперь давайте проверим, делится ли оставшаяся часть на 24. Мы можем выразить эту часть как:

6k^2 + 11k + 6 = 2(3k^2 + 5k + 3)

Таким образом, оставшаяся часть также делится на 24, так как является произведением 2 и некоторого целого числа (3k^2 + 5k + 3).

Поэтому, если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 2.

Мы уже проверили базовый шаг (n = 1) и показали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно верно и для k + 2. Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех нечётных натуральных чисел n. Таким образом, n^3 - n действительно делится на 24 при любом нечётном n.