Question

481. В квадрат со стороной 4 см вписывается другой квадрат так, что вершины его лежат на сторонах данного квадрата. Каким должно быть расстояние от вершины данного квадрата до ближайшей к ней вершины вписанного квадрата, чтобы вписанный квадрат имел наименьшую площадь? Помогите пожалуйста (Если можно с объяснением)

Answer 1

По сути, можно вписать только один квадрат, такой, чтобы все его вершины лежали на сторонах данного квадрата. Тогда расстояние от вершины данного до вершины вписанногобудет равно половине стороны квадрата. Т.е. 4 / 2 = 2

Ответ: 2см

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние от вершины данного квадрата до ближайшей к ней вершины вписанного квадрата, при котором площадь вписанного квадрата будет минимальной.

Давайте представим данную задачу на рисунке:

cssCopy code
   A------------------B
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   |                  |
   D------------------C

Данный квадрат ABCD имеет сторону 4 см. Мы хотим вписать в него квадрат PQRS так, чтобы его вершины лежали на сторонах ABCD. Предположим, что расстояние от вершины A до ближайшей вершины вписанного квадрата (например, вершины P) равно x см. Тогда расстояние от вершины B до вершины Q также будет x см, и расстояние от вершины C до вершины R также будет x см.

Теперь давайте рассмотрим вершину D. Расстояние от вершины D до ближайшей вершины вписанного квадрата (например, вершины S) должно также быть равно x см.

Таким образом, сторона вписанного квадрата PQRS будет равна 4 см - 2x см (поскольку x см отнимается с каждой стороны).

Теперь мы можем найти площадь вписанного квадрата в зависимости от x:

Площадь вписанного квадрата = (4 - 2x)^2

Чтобы найти минимальную площадь вписанного квадрата, мы можем взять производную этой функции по x и найти ее нули:

d/dx [(4 - 2x)^2] = 2(4 - 2x)(-2) = -4(4 - 2x)

Теперь приравняем это к нулю:

-4(4 - 2x) = 0

4 - 2x = 0

2x = 4

x = 2

Таким образом, минимальная площадь вписанного квадрата достигается, когда расстояние от вершины данного квадрата до ближайшей к ней вершины вписанного квадрата равно 2 см.