Question

Укажите все корни уравнения sin x sin 5 x + cos x cos 5 x = − 1 , принадлежащие промежутку [ − 3 π ; −3π/2]

Answer 1

cos(5x-x)=-1

cos(4x)=-1

4x=pi+2pi*k

x=pi/4+pi*k/2

ответ: -11pi/4;-9pi/4;-7pi/4

Answer 2

Решение:

$sinx*sin5x+cosx*cos5x=-1\\cos(x-5x)=-1\\cox(-4x)=-1\\cos4x=-1\\4x=\pi +2\pi n, n\in Z\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{4}, n\in Z\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$

Пусть n = -4:

$x_{1} = \frac{\pi}{4}+\frac{-4*\pi}{2} = \frac{\pi -8\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}$

Пусть n = -5:

$x_{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{-5*\pi}{2}=\frac{\pi-10\pi}{4}=-\frac{9\pi}{4}$

Пусть n = -6:

$x_{3}=\frac{\pi}{4}+\frac{-6*\pi}{2}=\frac{\pi-12\pi}{4}=-\frac{11\pi}{4}$

Ответ: $x_{1}=-\frac{7\pi}{4}; x_{2} = -\frac{9\pi}{4}; x_{3}=-\frac{11\pi}{4}$

Answer 3

Для нахождения корней уравнения $\sin(x)\sin(5x) + \cos(x)\cos(5x) = -1$ на интервале $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

$$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$$

Применим это тождество к уравнению:

$$\sin(x)\sin(5x) + \cos(x)\cos(5x) = -1$$

$$\sin(x)\sin(5x) + \cos(x)\cos(5x) + 1 = 0$$

Теперь мы можем записать левую часть уравнения как $\sin(5x - x) + 1$:

$$\sin(5x - x) + 1 = 0$$

$$\sin(4x) + 1 = 0$$

Теперь мы можем решить это уравнение:

$$\sin(4x) = -1$$

На интервале $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ синус отрицателен, поэтому $4x = -\frac{3\pi}{2}$. Таким образом:

$$x = -\frac{3\pi}{8}$$

Итак, корень уравнения $\sin(x)\sin(5x) + \cos(x)\cos(5x) = -1$ на интервале $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ равен $x = -\frac{3\pi}{8}$.