Question

Найдите корни биквадратного уравнения: х^4-х^2-6=0​

Answer 1

$x^4-x^2-6=0$

Возьмем что $x^2=t \Rightarrow$

$\Rightarrow t^2-t-6=0$

$t^2+2t-3t-6=0$

$t(t+2)-3(t+2)=0$

$(t+2)(t-3)=0$

$\left {{t=-2} \atop {t=3}} \right.\Rightarrow \left {{x^2=-2} \atop {x^2=3}} \right.\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$

Ответ: x = ±√3

Answer 2

Давайте решим это биквадратное уравнение, применив подстановку. Для этого обозначим $u = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$u^2 - u - 6 = 0$.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для нахождения корней используем квадратное уравнение:

$u^2 - u - 6 = 0$.

Мы можем решить его, используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -1$, и $c = -6$.

Используя квадратную формулу:

$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

подставим значения $a$, $b$, и $c$:

$u = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}$,

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$,

$u = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$.

Теперь найдем два возможных значения $u$:

1. $u_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$,
2. $u_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $x^2 = 3$. Чтобы найти корни, извлекаем квадратный корень: $x = \pm \sqrt{3}$.
2. $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итак, у нас есть два действительных корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Уравнение $x^4 - x^2 - 6 = 0$ имеет эти два корня.