Question

Вычислить предел: lim x→-1 (x²-1/x³+x+2)​

Answer 1

Ответ:

=- 0,5

Объяснение:

решение во вложении

Answer 2

Чтобы вычислить предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 2}$ при $x \to -1$, подставим $x = -1$ в выражение и попробуем упростить:

$f(-1) = \frac{(-1)^2 - 1}{(-1)^3 + (-1) + 2} = \frac{1 - 1}{-1 - 1 + 2} = \frac{0}{0}.$

Получили неопределённость $\frac{0}{0}$. Чтобы вычислить предел, преобразуем выражение так, чтобы можно было упростить его и избавиться от неопределённости. Воспользуемся раскрыванием скобок и преобразуем выражение:

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 2} = \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 2} \times \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ $= \frac{\frac{x^2 - 1}{x}}{\frac{x^3 + x + 2}{x}}$ $= \frac{\frac{x^2}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x^3}{x} + \frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$ $= \frac{x - \frac{1}{x}}{x^2 + 1 + \frac{2}{x}}$ $= \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1 + \frac{2}{x})}$ $= \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x^2 + 1) + 2}$

Теперь мы можем подставить $x = -1$ и вычислить предел:

$\lim_{{x \to -1}} f(x) = \lim_{{x \to -1}} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x^2 + 1) + 2}$ $= \frac{(-1 - 1)(-1 + 1)}{-1((-1)^2 + 1) + 2}$ $= \frac{0}{0}.$

Получили снова неопределённость $\frac{0}{0}$. Применим правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить предел в таких случаях, когда имеем неопределённость $\frac{0}{0}$. В данном случае:

$\lim_{{x \to -1}} f(x) = \lim_{{x \to -1}} \frac{(x - 1)'(x + 1)'}{(x(x^2 + 1) + 2)'}$