Question

Найдите все корни уравнения √1+cosx= -sinx на промежутке [ - ]

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Чтобы найти все корни уравнения √(1 + cos(x)) = -sin(x) на заданном промежутке, мы должны сначала определить допустимый диапазон значений x, а затем решить уравнение в этом диапазоне. Начнем с определения допустимого диапазона.

Уравнение содержит квадратный корень, и мы знаем, что значение под корнем не может быть отрицательным, поэтому:

1 + cos(x) ≥ 0

Для косинуса это выполняется при любых значениях x. Теперь давайте рассмотрим диапазон значений для sin(x). Синус является функцией, значение которой изменяется от -1 до 1, поэтому:

-1 ≤ -sin(x) ≤ 1

Таким образом, допустимый диапазон для уравнения √(1 + cos(x)) = -sin(x) - это:

-1 ≤ -sin(x) ≤ 1

Теперь мы можем решить уравнение на этом диапазоне:

√(1 + cos(x)) = -sin(x)

1 + cos(x) = sin^2(x) (возводим обе стороны в квадрат)

1 + cos(x) = 1 - cos^2(x) (по тождеству sin^2(x) = 1 - cos^2(x))

cos(x) + cos^2(x) = 0

cos(x)(1 + cos(x)) = 0

Теперь мы имеем два множителя, которые могут быть равны нулю:

1. cos(x) = 0
2. 1 + cos(x) = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. cos(x) = 0 cos(x) = 0 имеет корни на интервалах [0, π] и [2π, 3π]. Это связано с тем, что косинус равен нулю в точках, кратных π/2.

2. 1 + cos(x) = 0 cos(x) = -1 x = π

Итак, корни уравнения √(1 + cos(x)) = -sin(x) на заданном промежутке [0, 3π] это x = 0, x = π и x = 2π.