Question

Найдите наибольшее пятизначное число, у которого суммы: первой и третьей цифр, третьей и пятой цифр, пятой и второй цифр, второй и четвёртой цифр, четвёртой и первой цифр (т.е. пять сумм) являются простыми числами. 50 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

79042

Объяснение:

Обозначим цифры этого числа: a1, a2, a3, a4, a5.

Нам известно, что:

a1 + a3 = p1

a3 + a5 = p2

a2 + a5 = p3

a2 + a4 = p4

a1 + a4 = p5

Здесь p1, p2, p3, p4, p5 - простые числа.

Найти наибольшее такое пятизначное число.

Решение:

Во-первых, отметим, что наибольшая сумма двух цифр: 9 + 9 = 18, поэтому просты числа могут быть:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

И никакие другие.

Во-вторых, смотрим на суммы. Возможно 2 случая:

1) a1 + a3 = p1

a1 + a4 = p5

Если a1 четное, то a3 и a4 оба нечетные.

a2 + a5 = p3

a2 + a4 = p4

Так как a4 нечетное, то a2 четное, и a5 нечетное.

a3 + a5 = p2

a3 и a5 - оба нечетные, тогда их сумма четная и простая, то есть 2.

2) a1 + a3 = p1

a1 + a4 = p5

Если a1 нечетное, то a3 и a4 оба четные.

a2 + a5 = p3

a2 + a4 = p4

Так как a4 четное, то a2 нечетное, и a5 четное.

a3 + a5 = p2

a3 и a5 - оба четные, тогда их сумма четная и простая, то есть 2.

В обоих случаях a3 + a5 = 2, то есть варианты: (0; 2); (1; 1); (2; 0).

Рассмотрим все три варианта:

1) a3 = 0; a5 = 2

a1 + 0 = p1 = a1, наибольшее a1 = 7.

a3 + a5 = 2

a2 + a5 = p3 = a2 + 2. Наибольшее p3 = 11, тогда a2 = 9.

a2 + a4 = p4 = 9 + a4.

a1 + a4 = p5 = 7 + a4.

Получилось, что 7 + a4 и 9 + a4 - это два простых и их разность 2.

Наибольшая такая пара - 11 и 13. Значит, a4 = 4

Получилось число: 79042 - ЭТО РЕШЕНИЕ.

2) a3 = 1; a5 = 1

a1 + 1 = p1. Наибольшее p1 = 7, тогда a1 = 6.

Это меньше, чем a1 = 7 в 1) случае, поэтому дальше можно не считать.

3) a3 = 2; a5 = 0.

a1 + 2 = p1

Наибольшее p1 = 7, тогда a1 = 5.

Это меньше, чем a1 = 7 в 1) случае, поэтому дальше можно не считать.

Answer 2

Давайте рассмотрим это задание по частям. Начнем с того, что наибольшее пятизначное число начинается с цифры 9. Таким образом, у нас есть 9 _ _ _ _.

Чтобы найти подходящие числа для оставшихся цифр, нам нужно учитывать условия, что суммы разных пар цифр должны быть простыми числами. Давайте начнем с первой и третьей цифры:

9 _ 9 _ _

Сумма первой и третьей цифры также должна быть простым числом. Все однозначные простые числа - это 2, 3, 5, 7, и так далее. Нам нужно выбрать цифру второй пары так, чтобы сумма с первой цифрой была простым числом. Подходящими вариантами для второй цифры могут быть 2, 4, 6, 8. Давайте выберем 2:

9 _ 9 2 _

Следующая сумма - третьей и пятой цифры. Третья цифра у нас уже 9. Пятая цифра должна выбираться так, чтобы сумма с третьей цифрой была простым числом. Подходящей цифрой может быть 2:

9 _ 9 2 2

Далее идет сумма пятой и второй цифры. Вторая цифра у нас уже 2. Пятая цифра должна быть выбрана так, чтобы сумма с второй цифрой также была простым числом. Подходящей цифрой может быть 7:

9 _ 9 2 2

Теперь осталась сумма второй и четвертой цифры. Вторая цифра у нас 2, а четвертая цифра должна быть выбрана так, чтобы сумма с второй цифрой была простым числом. Подходящей цифрой может быть 5:

9 5 9 2 2

Таким образом, наибольшее пятизначное число, у которого суммы пяти пар цифр являются простыми числами, это 95922.