Question

Спростити вираз 4 cos2x × sin2x × cos4x буть ласка​

Answer 1

Відповідь:

# =sin(8x) #

Answer 2

Щоб спростити вираз $4 \cos(2x) \times \sin(2x) \times \cos(4x)$, спершу скористаємося тригонометричними тотожностями. Основна тотожність, яку нам знадобиться, це $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Використовуючи це, ми можемо спростити вираз:

$4 \cos(2x) \times \sin(2x) \times \cos(4x)$

Застосуємо тотожність $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$= 4 \cos(2x) \times (2\sin(x)\cos(x)) \times \cos(4x)$

Тепер використаємо тотожність $\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$:

$= 8\cos(2x) \times \sin(x)\cos(x) \times (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))$

Зараз спробуємо виразити $\cos(2x)$ та $\sin(2x)$ через $\cos(x)$ та $\sin(x)$, використовуючи тригонометричні тотожності. Ми використаємо $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ та $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$= 8(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \times (2\sin(x)\cos(x)) \times ((\cos^2(x) - \sin^2(x))^2 - (2\sin(x)\cos(x))^2)$

Тепер спростимо цей вираз, враховуючи, що $(\cos^2(x) - \sin^2(x))^2 = \cos^4(x) - 2\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x)$ та $(2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x)$:

$= 8(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \times (2\sin(x)\cos(x)) \times (\cos^4(x) - 2\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) - 4\sin^2(x)\cos^2(x))$

$= 8(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \times (2\sin(x)\cos(x)) \times (\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x))$

$= 16(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \times (\sin(x)\cos(x)) \times (\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x))$

Тепер ми можемо використати тотожність $\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) = (\cos^2(x) - 3\sin^2(x))^2$