Question

Решите неравенство (х²-4х)²+10(х²-4х)+21≥0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(x²-4x)²+10(x²-4x)+21≥0

Допустим: (x²-4x)²+10(x²-4x)+21=0, x²-4x=t

t²+10t+21=0; D=100-84=16

t₁=(-10-√16)/2=(-10-4)/2=-14/2=-7

t₂=(-10+4)/2=-6/2=-3

x²-4x=-7

x²-4x+7=0; D=16-28=-12 - уравнение не имеет корней, т.к. D<0.

x²-4x=-3

x²-4x+3=0; D=16-12=4

x₁=(4-√4)/2=(4-2)/2=2/2=1

x₂=(4+2)/2=6/2=3

Определимся со знаком на левом интервале. Возьмём точку, например, 0:

(0²-4·0)²+10(0²-4·0)+21=21; 21>0

            +                          -                                   +

------------------------.----------------------------.------------------------------->x

                           1                                3

x∈(-∞; 1]∪[3; +∞)

Answer 2

Давайте решим это неравенство поэтапно.

(х²-4х)² + 10(х²-4х) + 21 ≥ 0

Сначала давайте введем замену. Пусть t = x² - 4x. Тогда неравенство станет:

t² + 10t + 21 ≥ 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Мы можем начать с факторизации:

(t + 7)(t + 3) ≥ 0

Теперь нам нужно определить, когда произведение (t + 7)(t + 3) положительно или равно нулю. Это произойдет, если оба множителя одновременно положительны или оба множителя равны нулю.

1. Если t + 7 > 0 и t + 3 > 0, то оба множителя положительны. Это будет выполняться, если t > -7 и t > -3. Так как -3 больше чем -7, то это упрощается до t > -3.

2. Если t + 7 = 0 и t + 3 = 0, то оба множителя равны нулю. Это происходит, когда t = -7 и t = -3.

Итак, у нас есть два интервала, в которых выполняется неравенство:

1. t > -3
2. t = -7 и t = -3

Теперь вернемся к исходной переменной x:

1. x² - 4x > -3
2. x² - 4x = -7 и x² - 4x = -3

Давайте решим эти два случая по отдельности.

Сначала рассмотрим x² - 4x = -7:

x² - 4x = -7 x² - 4x + 7 = 0

Это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, поскольку дискриминант D = (-4)² - 417 = 16 - 28 = -12 отрицателен. Таким образом, для этого случая нет решений.

Теперь рассмотрим x² - 4x = -3:

x² - 4x = -3 x² - 4x + 3 = 0

Это уравнение можно факторизовать:

(x - 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два решения: x = 1 и x = 3.

Итак, для исходного неравенства (х²-4х)² + 10(х²-4х) + 21 ≥ 0, решениями будут значения x, которые соответствуют условиям:

1. x > -3
2. x = 1 и x = 3

Таким образом, решением неравенства будет x ∈ (-∞, -3] ∪ {1, 3}.