Question

Найдите все пары чисел, удовлетворяющие равенству (х^4 + 1)(y^4 + 1)=4x^2y^2

Answer 1

Объяснение:

(1;1)

(-1;-1)

(1;-1)

(-1;1)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение внимательно:

$(x^4 + 1)(y^4 + 1) = 4x^2y^2$

Мы можем заметить, что $4x^2y^2$ похоже на $(2xy)^2$, и у нас есть $(x^4 + 1)$ и $(y^4 + 1)$, что похоже на сумму двух квадратов. Давайте представим, что:

$x^4 + 1 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Таким образом, у нас будет:

$(x^4 + 1)(y^4 + 1) = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(y^2 - \sqrt{2}y + 1)(y^2 + \sqrt{2}y + 1)$

Теперь уравнение примет следующий вид:

$(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(y^2 - \sqrt{2}y + 1)(y^2 + \sqrt{2}y + 1) = 4x^2y^2$

Теперь давайте рассмотрим пары чисел, которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку у нас есть произведение двух множителей, равное $4x^2y^2$, мы можем просто рассмотреть все возможные комбинации:

1. $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 2xy$ и $x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 2xy$
2. $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = -2xy$ и $x^2 + \sqrt{2}x + 1 = -2xy$
3. $y^2 - \sqrt{2}y + 1 = 2xy$ и $y^2 + \sqrt{2}y + 1 = 2xy$
4. $y^2 - \sqrt{2}y + 1 = -2xy$ и $y^2 + \sqrt{2}y + 1 = -2xy$