Question

Найдите острые углы a и b прямоугольного треугольника если cos2a-sin(a-b)=-1​

Answer 1

Ответ: а = 60, в = 30

Объяснение:

в прямоугольном треугольнике сумма а и в равн 90, значит а = 90-в.

расписать косинус двойного угла и синус разности углов по формулам и везде подставить вместо а значение 90-в.  Потом преобразовать  результаты по формулам приведения и получим cos2в = 1/2, отсюда  2в =60 градусов, следовательно в = 30 градусов. Подставляя 30 градусов в формулу:

а = 90 - в, находим, что а = 60 градусов

Answer 2

Для решения этой задачи, мы будем использовать свойства тригонометрических функций и тождества.

Для начала, давайте разберемся с выражением cos(2a). Мы можем воспользоваться тождеством двойного угла для косинуса:

$cos(2a) = 2cos^2(a) - 1$

Теперь мы можем переписать уравнение, заменяя cos(2a) с использованием этого тождества:

$2cos^2(a) - 1 - sin(a-b) = -1$

Теперь давайте упростим это уравнение:

$2cos^2(a) - sin(a-b) = 0$

Теперь мы видим, что у нас есть сумма двух слагаемых. Давайте попробуем выразить sin(a-b) в терминах cos(a) и cos(b) с использованием тождества для синуса разности углов:

$sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)$

Теперь мы можем подставить это выражение в наше уравнение:

$2cos^2(a) - (sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)) = 0$

Теперь у нас есть уравнение, которое зависит только от cos(a) и cos(b). Давайте продолжим его упрощение:

$2cos^2(a) - sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = 0$

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые:

$2cos^2(a) + cos(a)sin(b) - sin(a)cos(b) = 0$

Обратите внимание, что последние два члена в скобках представляют собой произведение cos(a) и sin(b), которое можно записать как cos(a)sin(b). Теперь у нас есть уравнение:

$2cos^2(a) + cos(a)sin(b) - cos(a)sin(b) = 0$

Заметьте, что слагаемые cos(a)sin(b) и -cos(a)sin(b) взаимно уничтожаются. Теперь у нас остается:

$2cos^2(a) = 0$

Теперь можно решить это уравнение:

$cos^2(a) = 0$

Чтобы найти острый угол a, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$cos(a) = 0$

Теперь мы знаем, что cos(a) равен нулю. Острый угол a будет тем углом, при котором косинус равен нулю, и это происходит в точности при угле 90 градусов или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Теперь, когда мы знаем значение угла a, можем найти угол b, используя исходное уравнение:

$cos(2a) - sin(a-b) = -1$

Подставляем значение a:

$cos(2(\frac{\pi}{2})) - sin(\frac{\pi}{2}-b) = -1$

$cos(\pi) - sin(\frac{\pi}{2}-b) = -1$

$(-1) - sin(\frac{\pi}{2}-b) = -1$

Теперь мы видим, что $-1 - (-1)$ дает нам ноль, так что уравнение становится:

$0 = -1$

Это уравнение не имеет решений, поскольку оно приводит к логическому противоречию. Таким образом, у нас нет острого угла b, который удовлетворял бы исходному уравнению.