Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2-1/x+2 в точке x0 = - 1.

Answer 1

Y(x)=x^2+2-1/x. Xo=-1
y(x)=2x+1/x^2
m=y(xo)=-1
Yo=y(X0)=4
y=3-x

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ в точке $x_0 = -1$, мы можем воспользоваться формулой для уравнения касательной к графику функции в точке. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ задается следующим образом:

$y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0),$

где $f'(x_0)$ - производная функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Для функции $y = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ найдем производную:

$y = \frac{x^2 - 1}{x + 2} = (x^2 - 1)(x + 2)^{-1}.$

Используем правило производной частного:

$y' = \frac{(x + 2)(2x) - (x^2 - 1)(1)}{(x + 2)^2}.$

Упростим числитель:

$y' = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x + 2)^2}.$

$y' = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}.$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = \frac{(-1)^2 + 4(-1) + 1}{((-1) + 2)^2} = \frac{6}{1} = 6.$

Теперь у нас есть производная в точке $x_0 = -1$, которая равна 6. Подставим это значение в уравнение касательной:

$y - f(-1) = 6 \cdot (x - (-1)).$

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = \frac{(-1)^2 - 1}{-1 + 2} = \frac{0}{1} = 0.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ в точке $x_0 = -1$ имеет вид:

$y - 0 = 6 \cdot (x + 1).$