Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = sin x в точке с абциссой Хо = п/4 Помогите, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$f(x) = \sin(x)$

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$f( \frac{\pi}{4} ) = \sin( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$f'(x) = \cos(x)$

$f( \frac{\pi}{4} ) = \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$f(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} (x - \frac{\pi}{4} ) = \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2}x }{2} - \frac{\pi \sqrt{2} }{8} \\ f(x) = \frac{ \sqrt{2}x }{2} + \frac{4 \sqrt{2} - \pi \sqrt{2} }{8}$

- уравнение касательной

Answer 2

1. значение функции в точке х₀=π/4  равно f(π/4) = sin π/4=√2/2;

2. производная функции  f'(x) = sin' x=cosx;

3.  значение производная функции  f'(x)= cosx  в точке х₀=π/4  равно f'(π/4) = cos π/4=√2/2;

4 в уравнение касательной у= f'(x₀)*(х-х₀)+f(х₀)  подставим все найденные значения. получим

у=(√2/2)*(х-π/4)+√2/2; раскроем скобки, упростим.

у=√2*х/2+(√2/2)*(1-π/4)

Ответ у=√2*х/2+(√2/2)*(1-π/4)

Answer 3

Уравнение касательной к графику функции f(x) = sin(x) в точке с абсциссой Х₀ = π/4 можно составить, используя производную функции. Первая производная функции sin(x) равна cos(x). Таким образом, мы имеем:

f'(x) = cos(x).

Чтобы найти уравнение касательной, мы также используем уравнение касательной в форме:

y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - точка, в которой мы строим касательную, m - угловой коэффициент, равный производной в этой точке.

Для вашей задачи:

(x₀, y₀) = (π/4, sin(π/4)) = (π/4, √2/2),

m = f'(π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Теперь мы можем записать уравнение касательной:

y - √2/2 = (√2/2)(x - π/4).

Вы можете упростить это уравнение и представить его в более стандартной форме, если это необходимо:

2(y - √2/2) = 2(√2/2)(x - π/4), 2y - √2 = √2(x - π/4).

Это уравнение представляет собой касательную к графику функции f(x) = sin(x) в точке x = π/4.