Question

Кут С паралелограма АВCD дорівнює 45 градусів. Бісектриса кута D перетинає пряму АВ у точці Р такій, що АР-10см, ВР-2см. Знайдіть площу паралелограма АВСD​

Answer 1

Ответ.  Р=36 см .

АВСД - параллелограмм , ДР - биссектриса,  ∠С=45° ,

ДР пересекает АВ в точке Р , а ВС в точке М .

АР=10 см ,  ВР=2 см    ⇒    АВ=10-2=8 см  ,   СД=АВ=8 см  как противоположные стороны параллелограмма .

ДР - биссектриса   ⇒   ∠СДР=∠АДР .

∠АДР=∠СМД  как накрест лежащие углы при АД || ВС и секущей ДР .

В ΔСМД два угла равны  ⇒   ΔСМД - равнобедренный и СМ=СД=8 см ∠СМД=(180°-45°):2=67,5°

∠ВМР=∠СМД=67,5°  как вертикальные .

В ΔВМР угол ∠МВР=45° , так как ∠МВР=∠МСД=45°  как накрест лежащие углы при АР || СД и секущей ВС .

Но тогда в ΔВМР:  ∠ВРМ=180°-45°-67,5°=67,5° , то есть ΔВМР есть два равных угла:  ∠ВМР=∠ВРМ=67,5° , тогда этот треугольник равнобедрен-ный и ВМ=ВР=2 см .

Тогда ВС=СМ+ВМ=8 +2 =10 см   , АД=ВС=10 см

Периметр  Р=10+10+8+8=36 см .

Answer 2

Для знаходження площі паралелограма ABCD, нам спочатку потрібно знайти його висоту та одну зі сторін.

Дано:

1. Кут S паралелограма ABCD дорівнює 45 градусів.
2. АР = 10 см.
3. ВР = 2 см.

Позначимо висоту паралелограма як h і одну зі сторін, наприклад, BC, як b.

Знаючи, що кут S паралелограма ABCD дорівнює 45 градусів, ми можемо вважати, що кут між стороною AB і стороною AD дорівнює 45 градусів.

Також, бісектриса кута D розділяє кут D на два рівних кути, кожен з яких дорівнює 45 градусів. Отже, кут BAD дорівнює 45 градусів.

Тепер ми маємо прямокутний трикутник ABR (AB - сторона паралелограма, AR - одна зі сторін, BR - бісектриса кута D).

За теоремою синусів ми можемо знайти висоту h трикутника ABR:

sin(45 градусів) = h / AR sin(45 градусів) = h / 10 см

h = 10 см * sin(45 градусів) = 10 см * √2 / 2 = 5√2 см

Тепер ми можемо знайти сторону BC, використовуючи те, що трикутник ABC є прямокутним:

BC = BR + RC BC = 2 см + 2 см = 4 см

Тепер ми можемо знайти площу паралелограма ABCD:

Площа = b * h Площа = 4 см * 5√2 см = 20√2 см²

Отже, площа паралелограма ABCD дорівнює 20√2 квадратних сантиметрів.