Question

Не решая квадратного уравнения найти сумму квадратов его корней

Answer 1

Ответ: x1²+x2²=b²/a²-2*c/a=(b²-4*c²)/a².

Объяснение:

Пусть дано квадратное уравнение a*x²+b*x+c=0. Запишем его в виде a*(x²+b*x/a+c/a)=0. Так как a≠0 (иначе уравнение не будет квадратным), то x²+b*x/a+c/a=0. Это - приведённое квадратное уравнение, пусть x1 и x2 - его корни. По теореме Виета, x1+x2=-b/a, а x1*x2=c/a. Отсюда (x1+x2)²=b²/a², но (x1+x2)²=x1²+2*x1*x2+x2². Тогда x1²+x2²=b²/a²-2*x1*x2, а так как x1*x2=c/a, то 2*x1*x2=2*c/a. Поэтому x1²+x2²=b²/a²-2*c/a=(b²-4*c²)/a².

Answer 2

Сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть найдена без непосредственного нахождения самих корней. Если у вас есть квадратное уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0,

то сумма квадратов корней, обозначенных как x1 и x2, равна (x1^2 + x2^2):

(x1^2 + x2^2) = (x1 + x2)^2 - 2x1x2.

Вам нужно найти сумму корней (x1 + x2) и их произведение (x1x2). Зная коэффициенты a, b и c, вы можете использовать следующие формулы:

1. Сумма корней (x1 + x2) равна -b/a.
2. Произведение корней (x1x2) равно c/a.

Теперь мы можем найти сумму квадратов корней:

(x1^2 + x2^2) = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 (x1^2 + x2^2) = (-b/a)^2 - 2(c/a) (x1^2 + x2^2) = (b^2/a^2) - (2c/a) (x1^2 + x2^2) = (b^2 - 2ac) / a^2

Итак, сумма квадратов корней равна (b^2 - 2ac) / a^2, и вы можете вычислить ее, используя коэффициенты вашего квадратного уравнения.