Question

Розв'яжіть нерівність: (x-1)(х + 1)(х-2)(х + 8) < 0+​

Answer 1

(x-1)(х + 1)(х-2)(х + 8) < 0

Метод интервалов

(x-1)(х + 1)(х-2)(х + 8) = 0

x = 1

x = -1

x = 2

x = -8

++++++++++(-8) ------------- (-1) +++++++++ (1) ----------------- (2) ++++++++++

x ∈ (-8, -1) U (1,2)

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність $(x-1)(x+1)(x-2)(x+8) < 0$, ми можемо використовувати метод інтервалів або діаграму знаків. Я розгляну обидві методи.

Метод інтервалів:

1. Знайдемо точки, в яких ліва сторона нерівності дорівнює нулю. Ці точки визначаються значеннями $x$, при яких будь-яний з множників $x-1$, $x+1$, $x-2$, або $x+8$ дорівнює нулю. Тобто, це точки $x = 1$, $x = -1$, $x = 2$, і $x = -8$.

2. Розділімо весь відрізок числової прямої на п'ять інтервалів за цими точками: $(-\infty, -8)$, $(-8, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$, і $(2, +\infty)$.

3. Виберемо по одному тестовому значенню $x$ з кожного інтервалу і визначимо знак виразу $(x-1)(x+1)(x-2)(x+8)$. Наприклад, можемо взяти $x = -9$ для інтервалу $(-\infty, -8)$, $x = -2$ для інтервалу $(-8, -1)$, $x = 0$ для інтервалу $(-1, 1)$, $x = 1.5$ для інтервалу $(1, 2)$, і $x = 3$ для інтервалу $(2, +\infty)$.

4. Перевіримо знак виразу на кожному інтервалі:

   • Для $(-\infty, -8)$, вираз $(x-1)(x+1)(x-2)(x+8)$ буде додатнім, оскільки всі множники в цьому інтервалі від'ємні.
   • Для $(-8, -1)$, вираз буде від'ємним, оскільки єдиний додатний множник - $x+8$.
   • Для $(-1, 1)$, вираз знову буде додатнім, оскільки всі множники в цьому інтервалі від'ємні.
   • Для $(1, 2)$, вираз буде від'ємним, оскільки єдиний додатний множник - $x-1$.
   • Для $(2, +\infty)$, вираз знову буде додатнім, оскільки всі множники в цьому інтервалі додатні.

5. Таким чином, вираз $(x-1)(x+1)(x-2)(x+8)$ від'ємний на інтервалах $(-8, -1)$ і $(1, 2)$, і додатній на інших інтервалах. Тепер ми можемо записати відповідь до нерівності:

$(x-1)(x+1)(x-2)(x+8) < 0$ на інтервалах $(-8, -1)$ і $(1, 2)$.

Це є відповіддю до даної нерівності, враховуючи інтервали, на яких вона виконується.