Question

ДАМ 50 БАЛЛОВ!! Производная сложной функции 1)y=√u, u=sin x 2)y=sint, t=√x

Answer 1

Ответ:

решение показано на фото в приложении

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции сначала нужно применить правило цепочки (chain rule). Давайте начнем с первой функции:

1. Пусть $y = \sqrt{u}$, где $u = \sin(x)$.

Сначала найдем производную $y$ по $u$, а затем производную $u$ по $x$.

1.1. Найдем производную $y$ по $u$: $\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}.$

1.2. Теперь найдем производную $u$ по $x$: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x).$

Теперь мы имеем две производные: $\frac{dy}{du}$ и $\frac{du}{dx}$, и можем применить правило цепочки для нахождения производной $y$ по $x$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left(\frac{1}{2\sqrt{u}}\right) \cdot \cos(x).$

Теперь у нас есть производная первой функции. Давайте перейдем ко второй функции:

2. Пусть $y = \sin(t)$, где $t = \sqrt{x}$.

Теперь найдем производную $y$ по $t$ и производную $t$ по $x$.

2.1. Найдем производную $y$ по $t$: $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t)) = \cos(t).$

2.2. Найдем производную $t$ по $x$: $\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Теперь мы имеем две производные: $\frac{dy}{dt}$ и $\frac{dt}{dx}$. Мы можем применить правило цепочки для нахождения производной $y$ по $x$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \cos(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Теперь у нас есть производная второй функции.

Итак, мы нашли производные обеих функций, и они выглядят следующим образом:

1. $y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{u}}\right) \cdot \cos(x)$
2. $y' = \cos(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$