Question

50 баллов каждому, кто ответит. За спам пожалуюсь сразу. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x)=x+sin2x на проміжку [0; π/2]

Answer 1

Ответ:

$f(x) = x + \sin(2x)$

$f'(x) = 1 + \cos(2x) \times 2 \\ \\ f'(x) = 0 \\ 2 \cos(2x) + 1 = 0 \\ \cos(2x) = - \frac{1}{2} \\ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi \: n \\ \\ x_1 = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n\\ \\ - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \\ - ( - \frac{2\pi}{3}) - - ( - \frac{\pi}{3} )- - \frac{\pi}{3} - - \frac{2\pi}{3} - >$

В промежуток входит точка П/3. Подставим ее, а также границы промежутка

$f(0) = 0 + \sin(0) = 0\\ f( \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin( \frac{2\pi}{3} ) = \frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ f( \frac{\pi}{2} ) = \frac{\pi}{2} + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2} \\ \\ \frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Таким образом:

0 - наименьшее значение

П/2 - наибольшее

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції f(x) = x + sin(2x) на проміжку [0, π/2], спочатку знайдемо похідну функції та розв'яжемо рівняння f'(x) = 0, щоб знайти критичні точки. Після цього, ми визначимо значення функції в цих точках, а також на кінцях проміжку.

1. Знайдемо похідну f'(x): f'(x) = 1 + 2cos(2x)

2. Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0: 1 + 2cos(2x) = 0 2cos(2x) = -1 cos(2x) = -1/2

Для x, що належить проміжку [0, π/2], розв'язок цього рівняння буде в діапазоні [π/6, π/3], оскільки косинус обертається від 0 до -1 на цьому діапазоні.

3. Знаходимо значення функції в критичних точках та на кінцях проміжку:

   f(0) = 0 + sin(2 * 0) = 0 f(π/6) ≈ π/6 + sin(2 * π/6) ≈ 0.29 f(π/3) ≈ π/3 + sin(2 * π/3) ≈ 0.87 f(π/2) ≈ π/2 + sin(2 * π/2) = π/2

Таким чином, найменше значення функції на проміжку [0, π/2] дорівнює близько 0,29, і воно досягається при x ≈ π/6, а найбільше значення дорівнює π/2 і досягається при x = π/2.