Question

Решите систему неравенств: 5х²-9х + 4 <0, 2x + 3 ≥ 0​

Answer 1

1) 5x^2-9x+4>0

D=81-4*4*5=81-80=1

√D=√1=1

x1=9+1/10=1

x2=9-1/10=4/5

2)2x≥-3

x≥-1.5

x>1

x>4/5

x≥-1.5

Answer 2

Для решения системы неравенств сначала найдем корни квадратного уравнения 5x² - 9x + 4 = 0, которые разделяют область числовой прямой на три интервала. Затем проверим значения на каждом интервале в обоих неравенствах.

1. Решим квадратное уравнение 5x² - 9x + 4 = 0:

Для этого используем дискриминант (D = b² - 4ac): D = (-9)² - 4 * 5 * 4 = 81 - 80 = 1

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (9 + 1) / (2 * 5) = 10 / 10 = 1 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (9 - 1) / (2 * 5) = 8 / 10 = 0.8

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 1 и x₂ = 0.8. Область числовой прямой разделяется на три интервала: (-∞, 0.8), (0.8, 1), и (1, ∞).

2. Проверим неравенства на каждом из интервалов:

a) Интервал (-∞, 0.8): 5x² - 9x + 4 < 0 2x + 3 ≥ 0

Для первого неравенства: Подставим x = 0 (произвольное значение меньше 0.8): 5(0)² - 9(0) + 4 = 4 > 0.

Так как это неравенство является квадратным уравнением, которое имеет два корня, а значит, оно меняет знак между корнями (на интервале (0.8, 1) оно положительное), то оно отрицательное на интервале (-∞, 0.8).

Для второго неравенства: 2(0) + 3 = 3 > 0.

Итак, на интервале (-∞, 0.8) выполняется 2x + 3 ≥ 0, и 5x² - 9x + 4 < 0.

b) Интервал (0.8, 1): 5x² - 9x + 4 < 0 2x + 3 ≥ 0

Для первого неравенства: Подставим x = 0.9 (произвольное значение между 0.8 и 1): 5(0.9)² - 9(0.9) + 4 = 0.29 > 0.

Для второго неравенства: 2(0.9) + 3 = 4.8 > 0.

Итак, на интервале (0.8, 1) выполняется 2x + 3 ≥ 0, и 5x² - 9x + 4 < 0.

c) Интервал (1, ∞): 5x² - 9x + 4 < 0 2x + 3 ≥ 0

Для первого неравенства: Подставим x = 1.1 (произвольное значение больше 1): 5(1.1)² - 9(1.1) + 4 = -1.09 < 0.

Для второго неравенства: 2(1.1) + 3 = 5.2 > 0.

Итак, на интервале (1, ∞) выполняется 2x + 3 ≥ 0, и 5x² - 9x + 4 < 0.

Итак, решение системы неравенств:

(-∞, 0.8): 5x² - 9x + 4 < 0 и 2x + 3 ≥ 0 (0.8, 1): 5x² - 9x + 4 < 0 и 2x + 3 ≥ 0 (1, ∞): 5x² - 9x + 4 < 0 и 2x + 3 ≥ 0