Question

Доказать тождество sin(альфа+бета)+sin(альфа-бета) / cos(альфа+бета)-cos(альфа-бета)= - ctg бета

Answer 1

$\frac{ \sin(a + b) + \sin(a - b) }{ \cos(a + b) - \cos(a - b) } = - \cot(b)$

$\frac{ \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a) + \sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)}{ \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) - \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) } = - \cot(b)$

$\frac{2 \sin(a) \cos(b) }{ - 2 \sin(a) \sin(b) } = - \cot(b)$

2sinA скращаются, но минус остается

$- \frac{ \cos(b) }{ \sin(b) } = - \cot(b)$

$- \cot(b ) = - \cot(b)$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы и разности углов:

1. Синус суммы углов:

   $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$$

2. Синус разности углов:

   $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$$

3. Косинус суммы углов:

   $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$

4. Косинус разности углов:

   $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Теперь подставим эти формулы в левую часть тождества и упростим:

$$\begin{align*} \text{Левая часть} &= \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)} \\ &= \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)} \\ &= \frac{2\sin(\alpha)\cos(\beta)}{-2\sin(\alpha)\sin(\beta)} \\ &= -\frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} \\ &= -\cot(\beta) \quad \text{(по определению котангенса)} \end{align*}$$

Таким образом, левая часть равна $-\cot(\beta)$, что и требовалось доказать.