Question

1) yy'=x^22) y'=5xsin^2yпомогите пожалуйста Дифференциальные уравнение​

Answer 1

Ответ:

1.

$yy' = {x}^{2} \\ y \times \frac{dy}{dx} = {x}^{2} \\ \int\limits \: ydy = \int\limits {x}^{2} dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ y {}^{2} = \frac{2 {x}^{3} }{3} + C$

общее решение

2.

$y' = 5x \sin {}^{2} (y) \\ \frac{dy}{dx} = 5x \sin {}^{2} (y) \\ \int\limits \frac{dy}{ \sin {}^{2} (y) } =\int\limits 5xdx \\ - ctg(y) = \frac{5 {x}^{2} }{2} + C\\ ctg(y) = - 2.5 {x}^{2} - C$

общее решение

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое дифференциальное уравнение по отдельности:

1. yy' = x^2

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого давайте выразим y' и разделим обе стороны уравнения:

yy' = x^2 y' = x^2 / y

Теперь можно разделить переменные, переместив y в левую сторону и x^2 в правую:

y / y' = 1 / x^2

Далее, интегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(1/x^2) dx

ln|y| = -1/x + C

Теперь можно избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^(-1/x + C)

|y| = e^C * e^(-1/x)

Поскольку константа C может быть любой, объединим e^C в новую константу K:

|y| = K * e^(-1/x)

Теперь, чтобы избавиться от модуля, мы можем рассмотреть два случая:

1. y > 0: y = K * e^(-1/x)

2. y < 0: y = -K * e^(-1/x)

Это и есть общее решение уравнения.

2. y' = 5xsin^2(y)

Это уравнение также можно решить методом разделения переменных. Для этого давайте выразим sin^2(y) и разделим обе стороны уравнения:

y' = 5xsin^2(y) sin^2(y) = (1/5x) y'

Теперь можно разделить переменные, переместив sin^2(y) в левую сторону и (1/5x) y' в правую:

(1/sin^2(y)) dy = 5x dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/sin^2(y)) dy = ∫5x dx

Для интегрирования левой стороны используем тригонометрическую подстановку. Заметим, что:

1/sin^2(y) = csc^2(y)

Таким образом:

∫csc^2(y) dy = ∫5x dx

-ctg(y) = (5/2)x^2 + C

Теперь найдем y:

y = arctan(-(5/2)x^2 - C)

Это и есть решение уравнения.