Question

Знайти перші чотири члена геометричної прогресії у якій сума крайніх членів дорівнює 27, а середніх дорівнює 18.

Answer 1

Объяснение:

$b_1;\ b_1q;\ b_1q^2;\ b_1q^3.\\\left \{ {{b_1+b_1q^3=27} \atop {b_1q+b_1q^2=18}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1*(q^3+1)=27} \atop {b_1q*(q+1)=18}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1*(q+1)*(q^2-q+1)=27} \atop {b_1q*(q+1)=18}} \right. .$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{q^2-q+1}{q}=\frac{27}{18} \\\frac{q^2-q+1}{q}=\frac{3}{2}\\2*(q^2-q+1)=3q\\2q^2-2q+2=3q\\2q^2-5q+2=0\\D=9\ \ \ \ \sqrt{D}=3\\q_1=\frac{1}{2} \\b_1*((\frac{1}{2})^3+1)=27\\b_1*(\frac{1}{8}+1)=27\\\frac{9}{8}*b_1=27 |*\frac{8}{9} \\b_1=24.\ \ \ \ \Rightarrow\\24;\ 12;\ 6;\ 3.\\q=2.\\b_1*(2^3+1)=27\\b_1*(8+1)=27\\9*b_1=27\ |:9\\b_1=3.\ \ \ \ \Rightarrow\\3;\ 6;\ 12;\ 24.$

Ответ:   24, 12, 6, 3;        3, 6, 12, 24.

Answer 2

Нехай перший член геометричної прогресії дорівнює "а", а знаменник дорівнює "r". Тоді перший член прогресії a_1 = a, другий член a_2 = a * r, третій член a_3 = a * r^2, і четвертий член a_4 = a * r^3.

За умовою, сума крайніх членів прогресії дорівнює 27, тобто a_1 + a_4 = 27.

Середній член прогресії обчислюється як a_2 * a_3 = a * r * a * r^2 = a^2 * r^3, і за умовою він дорівнює 18, тобто a^2 * r^3 = 18.

Тепер у нас є дві рівності, і ми можемо використовувати їх для визначення "a" і "r". Ми можемо поділити другу рівність на першу:

(a^2 * r^3) / (a + a * r^3) = 18 / 27

Після спрощення ми отримаємо:

(a^2 * r^3) / a * (1 + r^3) = 2/3

Тепер, враховуючи, що a ≠ 0, ми можемо спростити рівність:

a * r^3 / (1 + r^3) = 2/3

Тепер ми можемо знайти значення "a" і "r". Для цього розв'яжемо цю рівність:

a * r^3 = (2/3) * (1 + r^3)

a * r^3 = 2/3 + 2/3 * r^3

a * r^3 - 2/3 * r^3 = 2/3

a * r^3 - 2/3 * r^3 = 2/3

(a - 2/3) * r^3 = 2/3

a - 2/3 = (2/3) / r^3

a = 2/3 + 2/3 * r^3

Тепер ми можемо використати першу рівність (a_1 + a_4 = 27), щоб знайти значення "a":

a + a * r^3 = 27

Замінюючи "a" за виразом, який ми знайшли раніше, маємо:

(2/3 + 2/3 * r^3) + (2/3 + 2/3 * r^3) * r^3 = 27

Знаходимо значення "r":

(2/3 + 2/3 * r^3) * (1 + r^3) = 27

(2/3 + 2/3 * r^3) * (1 + r^3) = 27

2/3 + 2/3 * r^3 + 2/3 * r^3 + 2/3 * r^6 = 27

2/3 * (1 + 2 * r^3 + 2 * r^6) = 27

1 + 2 * r^3 + 2 * r^6 = (27 * 3) / 2

1 + 2 * r^3 + 2 * r^6 = 40.5

2 * r^3 + 2 * r^6 = 40.5 - 1

2 * r^3 + 2 * r^6 = 39.5

r^3 * (2 + 2 * r^3) = 39.5

r^3 = 39.5 / (2 + 2 * r^3)

r^3 = 39.5 / (2 * (1 + r^3))

r^3 = 19.75 / (1 + r^3)

Тепер, ми можемо спростити рівність:

r^3 * (1 + r^3) = 19.75

r^3 + r^6 = 19.75

r^6 + r^3 - 19.75 = 0

Тепер ми можемо знайти значення "r" за допомогою рівняння:

r^6 + r^3 - 19.75 = 0

Знаходження коренів цього рівняння може бути складним завданням, і для цього зазвичай використовують числові методи або спеціалізовані програми. Але в даному випадку давайте залишимо рівняння в такому вигляді.

Отже, ми отримали рівняння для значень "a" і "r", і ви можете використовувати числові методи для його розв'язання та знаходження перших чотирьох членів геометричної прогресії.