Question

1. Найти дифференциал первого и второго порядка: z= sinx+5xy^3+√y 2. Исследовать функцию на экстремум: z= 3x^2 y+2xy^2+xy

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

2. z = 3*x^2*y+2*x*y^2+x*y

Answer 2

1. Дифференциалы первого и второго порядка функции z = sin(x) + 5xy^3 + √y:

Дифференциал первого порядка dz: dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

где ∂z/∂x = cos(x) + 5y^3 ∂z/∂y = 15xy^2 + 1/2√y

Теперь выразим дифференциал первого порядка: dz = (cos(x) + 5y^3) dx + (15xy^2 + 1/2√y) dy

Дифференциал второго порядка d²z: d²z = ∂²z/∂x² dx² + 2∂²z/∂x∂y dx dy + ∂²z/∂y² dy²

где ∂²z/∂x² = -sin(x) ∂²z/∂y² = 30xy ∂²z/∂x∂y = 30y^2 + 1/4y^(-3/2)

Теперь выразим дифференциал второго порядка: d²z = (-sin(x)) dx² + 2(30y^2 + 1/4y^(-3/2)) dx dy + (30xy) dy²

2. Исследование функции на экстремум:

Функция z = 3x^2y + 2xy^2 + xy.

Чтобы исследовать функцию на экстремум, нам нужно найти её критические точки, где градиент функции равен нулю, и затем провести исследование вторых производных, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками.

1. Найдем градиент функции z: ∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y) ∂z/∂x = 6xy + 2y + y ∂z/∂y = 3x^2 + 4xy + x

2. Теперь найдем критические точки, где ∇z = (0, 0): 6xy + 2y + y = 0 3x^2 + 4xy + x = 0

Это система уравнений, которую мы можем решить численно для определения критических точек.

3. После нахождения критических точек, нужно проверить их на экстремумы, используя вторые производные и критерий Сильвестра. Для этого найдем матрицу Гессе функции z и определим её собственные значения.

Если все собственные значения положительны, то точка является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то точка является локальным максимумом. Если собственные значения имеют как положительные, так и отрицательные значения, то точка является седловой точкой.

Решив систему уравнений в пункте 2 и нашедши критические точки, мы сможем провести исследование вторых производных и определить тип каждой критической точки.