Question

Решите систему неравенств: 5x-x² <0 и (3x-2) ²> 9.

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}5x-x^29\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x(5-x)0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x(x-5)>0\\(3x-2-3)(3x-2+3)>0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;+\infty \, )\\(3x-5)(3x+1)>0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 5\ ;+\infty \, )\\x\in (-\infty ;-\frac{1}{3})\cup(\frac{5}{3}\ ;+\infty \, )\end{array}\right$

$Otvet:\ \ x\in (-\infty ;-\frac{1}{3})\cup\ (\ 5\ ;+\infty \, )\ .$

Answer 2

Давайте решим эту систему неравенств пошагово.

Первое неравенство: $5x - x^2 < 0$

Для начала, перепишем его в виде: $x^2 - 5x > 0$

Теперь давайте найдем корни этого квадратного уравнения: $x^2 - 5x = 0$ $x(x - 5) = 0$

Из этого уравнения мы видим, что корни равны $x = 0$ и $x = 5$.

Теперь мы можем построить знаки нашего выражения для разных интервалов числовой оси:

1. Если $x < 0$, то оба множителя $x$ и $x - 5$ отрицательны. Так что выражение положительное.
2. Если $0 < x < 5$, то $x$ положительно, но $x - 5$ отрицательно. Так что выражение отрицательное.
3. Если $x > 5$, то оба множителя $x$ и $x - 5$ положительны. Так что выражение положительное.

Таким образом, решением первого неравенства является интервал $0 < x < 5$.

Теперь перейдем ко второму неравенству: $(3x - 2)^2 > 9$

Раскроем скобки в левой части: $9x^2 - 12x + 4 > 9$

Теперь выразим все на одной стороне и упростим: $9x^2 - 12x + 4 - 9 > 0$ $9x^2 - 12x - 5 > 0$

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни: $9x^2 - 12x - 5 = 0$

Используем квадратное уравнение для нахождения корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 9$, $b = -12$, и $c = -5$.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5)}}{2 \cdot 9}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{18}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{324}}{18}$

$x = \frac{12 \pm 18}{18}$

Таким образом, корни равны $x = \frac{5}{3}$ и $x = -1$.

Теперь построим знаки нашего выражения для разных интервалов числовой оси:

1. Если $x < -1$, то $9x^2 - 12x - 5 > 0$.
2. Если $-1 < x < \frac{5}{3}$, то $9x^2 - 12x - 5 < 0$.
3. Если $x > \frac{5}{3}$, то $9x^2 - 12x - 5 > 0$.

Таким образом, решением второго неравенства является интервал $-1 < x < \frac{5}{3}$.

Итак, система неравенств имеет два решения:

1. $0 < x < 5$
2. (-1 < x < \frac{5}{3} (x > -1 \ и \ x < \frac{5}{3})