Question

ДАЮ 75 1) Для каждого неравенства укажите множество его решений. А) х2 + 4 > 0. Б) x2 – 4 > 0. В) x2 – 4 < 0. Г) х2 + 4 < 0 6) ( - ∞; -2) ответ А Б В Г 2) Решите неравенство: . (4-х)(3х-1)(х+8) ≤ 0 3) Решите систему неравенств: 2х2+5х+2≥0, 3х+9<0.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: решение на фото  1) в А и Г так как х мнимое число то ответ будет x∈R

Answer 2

Ответ:

В решении.

Объяснение:

1) Для каждого неравенства укажите множество его решений.

А) х² + 4 > 0.

х² + 4 = 0

х² = -4

D < 0

Уравнение не имеет действительных корней.

Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.  

Подставить в неравенство произвольное значение х:  

х = 0;  

0² + 4 = 4 > 0, выполняется.

Значит, неравенство верно при любом значении х.

Решение неравенства: х∈(-∞; +∞).

Б) x² – 4 > 0.

x² – 4 = 0

х² = 4

х = ±√4

х₁ = -2;

х₂ = 2.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х = -2 и х = 2.

Решение неравенства: х∈(-∞; -2)∪(2; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

В) x² – 4 < 0.

x² – 4 = 0

x² = 4

х = ±√4

х₁ = -2;

х₂ = 2.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вниз, пересекают ось Ох при х = -2 и х = 2.

Решение неравенства: х∈(-2; 2).

Уравнение строгое, скобки круглые.

Г) х² + 4 < 0

х² + 4 = 0

х² = -4

D < 0

Уравнение не имеет действительных корней.

Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.  

Подставить в неравенство произвольное значение х:  

х = 0;

0² + 4 < 0, не выполняется.

Значит, неравенство не имеет решения.

2) Решите неравенство:  (4-х)(3х-1)(х+8) ≤ 0

(4 - х)(3х - 1)(х + 8) = 0

4 - х = 0  ⇒  -х = -4  ⇒   х₁ = 4;

3х - 1 = 0  ⇒  3х = 1   ⇒   х₂ = 1/3;

х + 8 = 0  ⇒   х = -8   ⇒  х₃ = -8.

Отметить на числовой прямой значения х:

_______________________________________________________

  -∞        +         -8         -        1/3             +            4               -                +∞        

Определить знак самого правого интервала, для этого придать х любое значение, больше 4 и подставить в уравнение:

х = 5;

(4 - 5)(3*5 - 1)(5 + 8) = (-1) * 14 * 13 = -182 < 0, значит, минус.

Так как неравенство < 0, интервалы решений будут со знаком минус:

Решение неравенства: х∈ [-8; 1/3] ∪ [4; +∞).

Неравенство нестрогое, скобки квадратные, а знаки бесконечности всегда с круглой скобкой.

3) Решите систему неравенств:

2х² + 5х + 2 ≥ 0

3х + 9 < 0

Решить первое неравенство:

2х² + 5х + 2 ≥ 0

2х² + 5х + 2 = 0

D=b²-4ac = 25 - 16 = 9         √D=3

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-5-3)/4

х₁= -8/4

х₁= -2;                  

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(-5+3)/4

х₂= -2/4

х₂= -0,5.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х = -2 и х = -0,5.

Решение первого неравенства: х∈(-∞; -2] ∪ [-0,5; +∞).

Уравнение нестрогое, скобки квадратные.

Решить второе неравенство:

3х + 9 < 0

3х < -9

x < -3.

Решение второго неравенства: х∈(-∞; -3).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух неравенств и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит двум неравенствам.  

Чертим числовую ось, отмечаем значения - бесконечность, -3, -2, -0,5,  

+ бесконечность.  

Решение первого неравенства: х∈(-∞; -2]∪[-0,5; +∞). Штриховка от -бесконечности до -2 и от -0,5 до + бесконечности.  

Решение второго неравенства: х∈ (-∞; -3). Штриховка от -∞ до -3.  

Двойная штриховка (пересечение решений) от х= -бесконечность до х= -3, это решение системы неравенств.

Запись: х∈(-∞; -3).

Answer 3

Давай разберёмся с этими задачами!

1. Начнём с неравенств: А) $x^2 + 4 > 0$ Это квадратное уравнение, и его решениями будут все вещественные числа. Так что множество решений - все действительные числа.

   Б) $x^2 - 4 > 0$ Это уравнение можно переписать как $(x + 2)(x - 2) > 0$. Решениями будут $x < -2$ и $x > 2$, так что множество решений - $(- \infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

   В) $x^2 - 4 < 0$ Это уравнение можно переписать как $(x + 2)(x - 2) < 0$. Решениями будут $-2 < x < 2$, так что множество решений - $(-2, 2)$.

   Г) $x^2 + 4 < 0$ Это неравенство не имеет решений в вещественных числах, так как $x^2 + 4$ всегда больше или равно 4. Так что множество решений - пустое множество.

2. Теперь решим неравенство $(4-x)(3x-1)(x+8) \leq 0$: Нам нужно найти интервалы, где это неравенство меньше или равно нулю. Решениями являются точки, где $4-x=0$, $3x-1=0$ и $x+8=0$. Таким образом, решениями являются $x=4, \frac{1}{3}, -8$. Теперь мы можем взять тестовые точки в каждом из интервалов, образованных этими решениями, чтобы определить знак внутри этих интервалов. После этого мы можем построить ответ: $(- \infty, -8] \cup \left[\frac{1}{3}, 4\right] \cup [8, +\infty)$.

3. Решим систему неравенств $2x^2+5x+2 \geq 0$ и $3x+9<0$: Для первого неравенства можно использовать метод интервалов или факторизацию, чтобы получить $(2x + 1)(x + 2) \geq 0$. Решениями будут $x \leq -2$ и $x \geq -\frac{1}{2}$. Для второго неравенства решением будет $x < -3$.

   Таким образом, множество решений системы - $(- \infty, -3) \cup \left[-2, -\frac{1}{2}\right] \cup [-2, +\infty)$.

Как я справился с этим математическим марафоном?