Question

40Б Найдите при каких значениях а уравнение x^2+(a+5)x+1=0 имеет два различных действительных корня. В подробностях пожалуйста

Answer 1

Объяснение:

х²+(а+5)*х+1=0

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант больше нуля.           ⇒

D=(a+5)²-4*1*1>0

a²+10a+25-4>0

a²+10a+21>0

a²+7a+3a+21>0

a*(a+7)+3*(a+7)>0

(a+7)*(a+3)>0

-∞__+__-7__-__-3__+__+∞        ⇒

Ответ: a∈(-∞;-7)U(-3;+∞).

Answer 2

Чтобы уравнение $x^2 + (a+5)x + 1 = 0$ имело два различных действительных корня, дискриминант этого уравнения должен быть положительным. Дискриминант уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае, $a = 1$, $b = a + 5$, и $c = 1$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (a + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1$

Раскроем квадрат и упростим:

$D = a^2 + 10a + 25 - 4$

$D = a^2 + 10a + 21$

Теперь у нас есть выражение для дискриминанта $D$. Чтобы найти при каких значениях $a$ уравнение имеет два различных действительных корня, нужно найти такие значения $a$, при которых $D > 0$.

$a^2 + 10a + 21 > 0$

Это квадратное уравнение имеет два возможных корня. Чтобы найти интервалы, в которых $a$ удовлетворяет этому неравенству, мы можем использовать метод ветвей. Разложим выражение вида $a^2 + 10a + 21$ на множители:

$(a + 7)(a + 3) > 0$

Теперь мы видим, что это неравенство будет выполняться, если оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

1. Оба множителя положительны:

   • Если $a + 7 > 0$ и $a + 3 > 0$, то $a > -7$ и $a > -3$. Самое большое из этих двух интервалов — $a > -3$.

2. Оба множителя отрицательны:

   • Если $a + 7 < 0$ и $a + 3 < 0$, то $a < -7$ и $a < -3$. Самый маленький из этих двух интервалов — $a < -7$.

Таким образом, уравнение $x^2 + (a+5)x + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня при $a < -7$ или $a > -3$.