Question

Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью углы 45° и 30° соответственно, а угол между наклонными равен 135°. Найдите расстояние между точками В и С, если АС = 4 см.

Answer 1

BC = 2√30 см ≈ 11 см

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Расстояние от точки А до плоскости

АН = АС · sin 30² = 4√3 · 0.5 = 2√3 (см)

Наклонная АВ равна

АВ = АН : sin 45° = 2√3 : 0.5√2 = 2√6 (см)

По теореме косинусов найдём расстояние ВС

ВС² = АВ² + АС² - 2 · АВ · АС · cos 135° =

= 24 + 48 - 2 · 2√6 · 4√3 · (-0.5 √2) =

= 72 + 48 = 120

BC = √120 = 2√30 (см)

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями и свойствами треугольников. Обозначим расстояние между точками B и C как $BC$. Посмотрим на треугольник ABC:

1. Из условия известно, что угол между наклонными сторонами $AB$ и $AC$ равен 135°. Также известно, что угол между плоскостью $\alpha$ и наклонной стороной $AB$ равен 45°, а угол между плоскостью $\alpha$ и наклонной стороной $AC$ равен 30°.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Углы этого треугольника при вершине $A$ равны 45° и 30°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол при вершине $C$ равен $180° - 45° - 30° = 105°$.

3. Теперь можем воспользоваться законом синусов для нахождения расстояния $BC$:

$$\frac{BC}{\sin 105°} = \frac{AC}{\sin 45°}$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{BC}{\sin 105°} = \frac{4\, \text{см}}{\sin 45°}$$

Теперь найдем значение $\sin 105°$ и $\sin 45°$ (значения синусов можно найти в таблице значений тригонометрических функций):

$$\sin 105° \approx 0.9659, \quad \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$$

Теперь решим уравнение для нахождения $BC$:

$$BC \approx \frac{4\, \text{см} \times \sin 105°}{\sin 45°} \approx \frac{4\, \text{см} \times 0.9659}{0.7071} \approx 5.47\, \text{см}$$

Итак, расстояние между точками $B$ и $C$ приближенно равно $5.47\, \text{см}$.